BSGS算法初探

前言

\(BSGS\)算法，全称\(Baby\ Step\ Giant\ Step\)，即大小步算法。某些奆佬也称其为拔（Ba）山（Shan）盖（Gai）世（Shi）算法。

它的主要作用是求解形式如\(x^t\equiv y(mod\ MOD)\)的式子中\(t\)的值\((gcd(x,MOD)=1)\)。

而且，它是一个简单易懂的算法（毕竟连我这样的数学渣渣都能理解）。

一个简单的性质

首先，我们需要知道一个简单的性质。

由费马小定理可得，\(x^{MOD-1}\equiv1(mod\ MOD)\)。

因此，当\(t\ge MOD-1\)时，会出现一个循环节。

于是我们就能保证答案\(t\)如果存在，则必然\(<MOD-1\)。

这是一个简单而又重要的性质。

\(BSGS\)算法的主要思想

\(BSGS\)算法的主要思想就是两个字：分块（提到分块就要\(\%\)一波分块奆佬\(hl666\)）。

根据分块思想，我们设一个变量\(Size=\sqrt{MOD}\)（注意，此处要用\(ceil\)函数向上取整，这样才能保证\(Size*Size\ge MOD\)，不然可能会遗漏答案）。

不难发现，此时的\(t\)可以表示为\(i*Size-j\)（\(i,j\)均为非负整数且\(j<Size\)）。

那么原式就被转化成了\(x^{i*Size-j}\equiv y(mod\ MOD)\)。

移项得\(x^{i*Size}\equiv x^j*y(mod\ MOD)\)。

然后怎么处理呢？

我们可以对\(x^j*y\)的值进行一波预处理，用一个\(map\)存储下来。

然后枚举\(i\)，判断\(x^{i*Size}\)的值是否存在即可。

当找到一个合法的\(i\)后，最终的答案就是\(i*Size-j\)。

时间复杂度分析

预处理的时间复杂度显然是\(O(j)\)的，枚举\(i\)的时间复杂度显然是\(O(i)\)的。

又由于\(i\)和\(j\)都是\(O(\sqrt N)\)大小的，所以总复杂度也是\(O(\sqrt N)\)级别的，是一个比较优秀的算法。

代码

map<int,int> s;//定义一个map
inline int BSGS(int x,int y,int MOD)//对于一个式子x^t=y(mod MOD)，求出t的值
{
	register int i,t=1,base,Size=ceil(sqrt(MOD));//注意此处要用ceil函数向上取整
	for(i=0;i<=Size;++i) s[1LL*t*y%MOD]=i,base=t,t=1LL*t*x%MOD;//预处理将(x^j)*y的值全部用map存下对应的j，并用base存储下x^Size
	for(t=base,i=1;i<=Size;++i,t=1LL*t*base%MOD)//枚举i，每次将t乘上x^Size 
		if(s[t]) return i*Size-s[t];//找到一个合法的i，则答案就是i*Size-j
	return 0;//无解返回0
}