【AtCoder】AtCoder Grand Contest 019 解题报告

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A：Ice Tea Store（点此看题面）

• \(0.25\)升的杯子要\(Q\)元，\(0.5\)升的杯子要\(H\)元，\(1\)升的杯子要\(S\)元，\(2\)升的杯子要\(D\)元。
• 求恰好装\(n\)升的饮料的最小代价。
• \(n\le10^9\)

这种题目居然因为没看到恰好挂了一发。。。

签到题

显然\(t=\min\{4\times Q,2\times H,S\}\)是装一杯的最小代价。

然后只要比较下\(2\times t\)和\(D\)的大小即可。

代码：\(O(1)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
using namespace std;
int n,Q,H,S,D;
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d%d",&Q,&H,&S,&D,&n);RI t=min(min(4*Q,2*H),S);//求装一杯的最小代价
	return printf("%lld\n",D<=2*t?1LL*(n>>1)*D+(n&1)*t:1LL*n*t),0;//比较2t和D的大小
}

B：Reverse and Compare（点此看题面）

• 给定一个长度为\(n\)的字符串。
• 你可以翻转字符串中至多一个区间，求能得到的字符串种数。
• \(n\le2\times10^5\)

一开始想复杂了，后来结合这是道B题才发现其实就是道送分题。。。

送分题

考虑翻转一个区间\([l,r]\)，如果\(s_l=s_r\)，那么这次翻转等价于翻转\([l+1,r-1]\)，是没有贡献的，否则必然有贡献。

故只要用总方案数\(\frac{n(n+1)}2+1\)减去各字无用方案数\(\sum \frac{t_i(t_i+1)}2\)即可。

代码：\(O(n)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 200000
using namespace std;
int n,t[30];char s[N+5];
int main()
{
	RI i;for(scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1),i=1;i<=n;++i) ++t[s[i]&31];//统计各字符个数
	long long ans=1LL*n*(n+1)/2+1;for(i=1;i<=26;++i) ans-=1LL*t[i]*(t[i]+1)/2;//用总方案数减去无用方案数
	return printf("%lld\n",ans),0;
}

C：Fountain Walk（点此看题面）

• 有一张\(10^8\times10^8\)的网格图，每个格子边长\(100\texttt{m}\)。
• 有\(n\)个喷泉坐落在不同的点上，且每行每列至多只有一个，可视作一个半径为\(10\texttt{m}\)的圆。
• 你要从\((x_1,y_1)\)走到\((x_2,y_2)\)，只能沿着线走（遇上喷泉需要绕圆走），求最短路长。
• \(n\le2\times10^5\)

最长上升子序列

考虑我们必然尽可能走圆，也就是对于这个矩阵内的点，按横坐标排序，对纵坐标做最长上升子序列。

然而，当最后一行或最后一列有喷泉时，我们可能不得不走一个半圆。

然后发现只会在每一行喷泉都被选中或每一列喷泉都被选中的时候有这种情况，判一下就好了。

代码：\(O(nlogn)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 200000
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define Pi acos(-1)
using namespace std;
int n,X1,Y1,X2,Y2,f[N+5];pair<int,int> a[N+5];
int main()
{
	RI i,x,y;for(scanf("%d%d%d%d%d",&X1,&Y1,&X2,&Y2,&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d",&x,&y),a[i]=mp(x,y);
	if(X1>X2&&(swap(X1,X2),swap(Y1,Y2),0),Y1>Y2) for(swap(Y1,Y2),i=1;i<=n;++i) a[i].se=Y1+Y2-a[i].se;//转化成X1≤X2,Y1≤Y2
	RI t=0,X=0,Y=0;for(sort(a+1,a+n+1),i=1;i<=n;++i)//找出矩阵内的点
		X1<=a[i].fi&&a[i].fi<=X2&&Y1<=a[i].se&&a[i].se<=Y2&&(a[++t]=a[i],0);
	for(n=t,f[t=0]=-1,i=1;i<=n;++i) f[f[t]<a[i].se?++t:lower_bound(f+1,f+t+1,a[i].se)-f]=a[i].se;//最长上升子序列
	long double ans=100LL*(X2-X1+Y2-Y1)-t*(20-5*Pi);//每走一个1/4圆可减少20-5π的路程
	return (t==X2-X1+1||t==Y2-Y1+1)&&(ans+=5*Pi),printf("%.12Lf\n",ans),0;//判断是否不得不走半圆
}

D：Shift and Flip（点此看题面）

• 给定两个长度相等的\(01\)串\(A,B\)，可以执行三种操作：
  • 将\(A\)左移一位。
  • 将\(A\)右移一位。
  • 选择一个\(B_i=1\)的\(i\)，令\(A_i=1-A_i\)。
• 问最少操作多少次能够将\(A\)变成\(B\)。
• \(|A|=|B|\le2000\)

自己做出来的D题！

解题思路

首先我们预处理出每个位置向左/向右到第一个\(B_i=1\)的位置的步数\(l_i,r_i\)。

考虑我们枚举一下左移总次数和右移总次数之差，就可以求出最后\(A\)中的每一位和\(B\)中的哪一位对应。

那么我们也就知道了\(A\)中哪些位需要修改。

假设最终向左边扩展了\(L\)位，向右边扩展了\(R\)位，则对于每个要修改的位需要满足\(L\ge l_i\)或者\(R\ge r_i\)。

假设左移总次数大于右移总次数，考虑从大到小枚举\(R\)，那么所有\(r_i\le R\)的已经满足了，而\(r_i>R\)的我们只要维护出\(\max\{l_i\}\)就得出了\(L_{\min}\)。

然后直接算一算就好了。

代码：\(O(n^2)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 2000
using namespace std;
int n,l[N+5],r[N+5],v[N+5];char A[N+5],B[N+5];
int main()
{
	RI i,j,k,res,ans=1e9;scanf("%s%s",A+1,B+1),n=strlen(A+1);
	RI t=0;for(i=1;i<=n&&!t;++i) t|=B[i]=='1';if(!t)//B中没有1
		{for(i=1;i<=n;++i) if(A[i]=='1') return puts("-1"),0;return puts("0"),0;}//判无解/0步
	#define Pre(x) (((x)^1)?(x)-1:n)//左移一位
	#define Nxt(x) (((x)^n)?(x)+1:1)//右移一位
	for(i=1;i<=n;++i) {for(j=i;B[j]=='0';j=Pre(j),++l[i]);for(j=i;B[j]=='0';j=Nxt(j),++r[i]);}//预处理向左/向右第一个B[i]=1的步数
	for(i=0;i<=n;++i)//左移总位数大于右移总位数
	{
		for(res=t=j=0;j^n;++j) v[j]=0;//清空
		for(j=Nxt(i),k=1;k<=n;j=Nxt(j),++k) A[j]^B[k]&&(v[r[j]]=max(v[r[j]],l[j]),++t);//维护
		for(j=n-1;~j;--j) ans=min(ans,i+2*(j+max(res-i,0))+t),res=max(res,v[j]);//从大到小枚举向右扩展范围
	}
	for(i=0;i<=n;++i)//右移总位数大于左移总位数，同上
	{
		for(res=t=j=0;j^n;++j) v[j]=0;
		for(j=1,k=Nxt(i);j<=n;++j,k=Nxt(k)) A[j]^B[k]&&(v[l[j]]=max(v[l[j]],r[j]),++t);
		for(j=n-1;~j;--j) ans=min(ans,i+2*(j+max(res-i,0))+t),res=max(res,v[j]);
	}
	return printf("%d\n",ans),0;
}

E：Shuffle and Swap（点此看题面）

• 有两个长度为\(n\)的\(01\)串\(A,B\)。
• 二者都有\(k\)个\(1\)，假设\(A\)中\(1\)的位置为\(a_{1\sim k}\)，\(B\)中为\(b_{1\sim k}\)。
• 对于\(a_i,b_i\)做全排列，交换所有\(A_{a_i},B_{b_i}\)，求\(A\)变成\(B\)的方案数。
• \(|A|=|B|\le10^4\)

奇怪的\(DP\)

发现我们肯定是要让\(A\)中所有不该是\(1\)的位置上的\(1\)都到需要\(1\)的位置上去，因此这样定义：

• 起点：满足\(A_i=1,B_i=0\)。
• 终点：满足\(A_i=0,B_i=1\)。
• 中间点：满足\(A_i=1,B_i=1\)。

显然对于中间点，无论如何交换，都仍然是\(1\)。

考虑合法情况对应的图应该是若干起点-一堆中间点-终点的链，因此我们设\(f_{i,j}\)表示使用了\(i\)个中间点，组成了\(j\)条链的方案数。

转移分两种，加一个中间点或加一条链：

• 加一个中间点：钦定其在链的末尾，任选一条链，任取其编号，贡献为\(i\times j\times f_{i-1,j}\)。
• 加一条链：钦定其为最后一条链，任取两个端点编号，贡献为\(j^2\times f_{i,j-1}\)。

统计答案

统计答案时只要枚举有多少中间点并没有参与构成链。

设中间点有\(s\)个，起点和终点各有\(t\)个（显然\(s+t=k\)），答案式为：

\[\sum_{i=0}^sC_{s+t}^i\times C_s^i\times(i!)^2\times f_{s-i,t} \]

代码：\(O((\frac n2)^2)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 10000
#define X 998244353
#define C(x,y) (1LL*Fac[x]*IFac[y]%X*IFac[(x)-(y)]%X)
using namespace std;
int n,Fac[N+5],IFac[N+5],f[N+5][N+5];char A[N+5],B[N+5];
I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}
int main()
{
	RI i,j,s=0,t=0;for(scanf("%s%s",A+1,B+1),n=strlen(A+1),i=1;i<=n;++i) A[i]&1&&(B[i]&1?++s:++t);//统计中间点、起点终点个数
	for(Fac[0]=i=1;i<=n;++i) Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*i%X;//预处理阶乘
	for(IFac[n]=QP(Fac[n],X-2),i=n;i;--i) IFac[i-1]=1LL*IFac[i]*i%X;//预处理阶乘逆元
	for(f[0][0]=1,i=0;i<=s;++i) for(j=0;j<=t;++j)//DP转移
		i&&(f[i][j]=(1LL*i*j%X*f[i-1][j]+f[i][j])%X),j&&(f[i][j]=(1LL*j*j%X*f[i][j-1]+f[i][j])%X);
	RI ans=0;for(i=0;i<=s;++i) ans=(1LL*C(s+t,i)*C(s,i)%X*Fac[i]%X*Fac[i]%X*f[s-i][t]+ans)%X;//统计答案
	return printf("%d\n",ans),0;
}

F：Yes or No（点此看题面）

• 有\(n+m\)道判断题，其中\(n\)道为Yes，\(m\)道为No。
• 你会采取最优策略答题，每答完一道题就会知道这道题的答案。
• 求答对题数的期望。
• \(n,m\le5\times10^5\)

暴力\(DP\)

显然最优策略就是当前哪种答案多就答哪个。

考虑\(O(n^2)\)的暴力，即设\(f_{i,j}\)为剩\(i\)个Yes和\(j\)个No时的期望答对题数。

当\(i> j\)时的转移为：

\[f_{i,j}=\frac{i}{i+j}(f_{i-1,j}+1)+\frac{j}{i+j}f_{i,j-1} \]

坐标系走路

闪总最喜欢也最擅长的东西。

考虑我们从原点出发，走到\((n,m)\)。

我们画一条\(y=x\)的直线，整个坐标系就被划分成两部分，发现直线下方\(x>y\)，直线上方\(y>x\)。

如果我们不经过对角线，那么根据我们的最优策略，无论如何都能得到\(\max\{n,m\}\)的贡献。

而对于对角线上的点，都有\(\frac12\)的概率能提供\(1\)的贡献。

所以我们只要计算出走到对角线上的方案数，除以总方案数得到走到对角线上的概率，再乘上\(\frac12\)就是期望贡献了。

代码：\(O(n)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 500000
#define X 998244353
#define I2 499122177
#define C(x,y) (1LL*Fac[x]*IFac[y]%X*IFac[(x)-(y)]%X)//组合数
#define S(x,y) C((x)+(y),x)//求向右走x单位，向上走y单位的方案数
using namespace std;
int n,m,Fac[2*N+5],IFac[2*N+5];
I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}
int main()
{
	RI i,ans=0;scanf("%d%d",&n,&m),n<m&&(n^=m^=n^=m);
	for(Fac[0]=i=1;i<=n+m;++i) Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*i%X;//预处理阶乘
	for(IFac[n+m]=QP(Fac[n+m],X-2),i=n+m;i;--i) IFac[i-1]=1LL*IFac[i]*i%X;//预处理阶乘逆元
	for(i=1;i<=m;++i) ans=(1LL*S(i,i)*S(n-i,m-i)+ans)%X;//统计走到每个对角线上的点的方案数
	return printf("%d\n",(1LL*I2*ans%X*QP(S(n,m),X-2)+n)%X),0;//计算答案
}