全序和偏序的关系及应用

假设A是一个集合 {1,2,3} ；R是集合A上的关系，例如{<1,1>,<2,2>,< 3,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}
自反性：任取一个A中的元素x，如果都有<x,x>在R中，那么R是自反的。
对称性：任取两个A中的元素x,y，如果<x,y> 在关系R上,那么<y,x> 也在关系R上，那么R是对称的。
反对称性：任取两个A中元素x,y(x!=y)，如果<x,y> 在关系R上,那么<y,x> 不在关系R上，那么R是反对称的。
传递性：任取三个A中元素x,y,z，如果<x,y>,<y,z> 在关系R上，那么 <x,z> 也在关系R上，那么R是传递的。
全序就是所有元素之间都是可通过比较确定次序关系的，比如整数集合。如果在其中混入复数，那就变成偏序集合了，因为不是所有元素之间都定义了次序关系。当然也可以自行定义一个比较运算，让这个集合可以排序，但这样做本质上是定义了新类型。