算法 - 平衡二叉树

平衡二叉树

今天有同学问了我如何构造平衡二叉树，总结如下：

平衡因子 BF（balance factor）为该节点左子树高度 - 右子树高度，绝对值如果 ≤ 1，则二叉树不需要调整。

平衡二叉树构造过程比较简单，分为四种情况：

• LL 插入
• RR 插入
• LR 插入
• RL 插入

用实例解释一下四种情况的调整方案：

LL 插入：
可以计算得到 8 的 BF 为 2，受到破坏且是第一个发现的节点，
LL 表示破坏者处于被破坏者左子树（left）的左子树（left）中。

被破坏者             15
                  /    \
发现者           8	     17
               /       
              4
             /
破坏者       1

此时需要发现者调整为：
被破坏者             15
                  /    \
发现者           4	     17
               /  \    
              1    8
 
LR 插入：
可以计算得到 8 的 BF 为 2，受到破坏且是第一个发现的节点，
LR 表示破坏者处于被破坏者左子树（left）的右子树（right）中。
被破坏者             15
                  /    \
发现者           4	     17
               /  \    
              1    8
                    \
                    12

此时需要将                   调整为
                15            8
               /             / \
              4	            4  15
               \    
                8


                    8
                  /   \
                4	  15
               /        \
              1          17

然后很重要的一步就是对 12 调整位置：
                    8
                  /    \
                4	   15
               /      /  \
              1      12   17

而其实 RR 插入是和 LL 插入的情况相似的，RL 插入和 LR 插入也是如此。其中 LR 插入这种类型比 LL 插入类型调整起来更为复杂，LL 也不是从发现者开始计算左右子树的，需要向上传递找到一系列受影响的节点，一般都是根节点出发的。

12 这个节点之所以放在 15 的左子树中而不是放在 4 的右子树，是由于平衡二叉树节点的左子树都比节点小，右子树都比节点大的性质决定的。

总结

对一棵平衡二叉树插入数据，平衡因子没有被破坏就不需要调整；如果调整后不是一个二叉平衡树，不满足其节点的左子树都比节点小，右子树都比节点大的性质就说明调整的过程出错了，需要排查算法的错误。