同济:001 函数基础概念:邻域、映射相关

001讲-徐小湛

1.差集:A \ B = { x | x ∈ A 且 x ∉ B }

逻辑量词符号表示:

2.“任意”:  

例:∀ a,b ∈ R,且a<b(任意实数a,b 且 a<b)

3.“存在”:∃

例:

 

4.邻域:(点x0的邻居区域)

 

U(X0,δ)={x |  |X-X0|<δ}

    ={x| X0-δ < x <x0+δ}

    =(x0-δ,x0+δ)

例:求2的0.1邻域

U(2,0.1)={x| |x-2|<0.1}

    =( 2-0.1,2+0.1)

    =(1.9,2.1)

5.去心邻域:(即邻域去掉中心X0)

 

6.映射概念(映射是一个规则):

设 X,Y是集合;

∀ x ∈ X,∃唯一y∈Y,使:

f: x→y

则称:f为X到Y一个映射

记: y=f(x)

(映射图示)

7.映射相关概念:

8.之间关系:

 

9.满射:(Y中每个元素都是映射f的像)

 

10.非满射:(Y中至少有一个不是映射f的像)

 

 

11.单射:集合X中任意两数a≠b,映射在集合Y中的像 f(a)≠f(b)

 

12.非单射:集合X中至少存在两个不同元素a≠b  通过f映射在   集合Y中有相同的像,即f(a)=f(b)

13.双射:即是单射,又是满射 称双射

 

 

14.题要:单射很重要

14-1.每个单射都可以诱导一个双射

14-2.每个单射都可诱导一个逆映射

 

15.【逆映射】:集合Y到X的逆运算

 

==========(三)函数=============

1.函数概念:函数是一种特殊映射

 

 2.函数相关概念(同映射)

 

3.函数的图形

4.反函数:即逆映射

5.单调函数

【单调函数定义】设x1>x2,如果在一个区间内都保持f(x1)>f(x2) 或 f(x1)<f(x2),那我们就说在此区间他是属于单调函数了

 

 6.一个函数有反函数条件是什么?

6.1 非单射函数没有反函数示例如下:(同一个Y对应两个x)

 

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