专题：分治法
- 分治法（Divide and Conquer）
作为五大算法之一的分治法，可算是最早接触的一种算法。分治法，与其说是一种算法，不如将其称为策略来的更贴切一些。算法的思想就是将大问题分成小问题，并解决小问题之后合并起来生成大问题的解。
- 二分法（Bisection）
二分法针对于有序集合的处理来说显得比按序遍历来得更快一些。记得有次我读到一篇处理问题的博客：有一个城市到另一个城市之间的电杆不通电了，该如何排查？作为常用思维大概就是逐个去查了，如果能确定两地间的电杆是串联的节点，那么二分法显然是比较有效率的，因为它跳过了很多不必要排查的电杆。
我们一般使用二分法去寻找一个流中的特定的数。比如查找有序数列中是否存在一个数，或者使用二分法求一个数的根号。
1.找数字
假设我们需要在1-10000里面找一个数200，使用逐个搜索的方法，我们会消耗200步。如果计入小数的画，恐怕就大大超过200这个消耗了。
假如使用二分法：
第一步我们找到1-10000中间的那个数：5000。它大于200，所以200应该在1-4999这个区间内，这样我们就丢掉了后5000个数。
第二步我们找到2500，也比200要大，200在1-2500这个区间内。
第三步找到1250这个数，也比200大。
第四步找到750。
第五步找到375。
第六步找到167，它比200要小了，说明200在167-375之间。
第七步找到271，它在167-271之间。
第八步找到219，它在167-219之间。
第九步找到193，它在193-219之间。
第十步找到206，它在193-206之间。
第十一步找到199，它在199-206之间。
第十二步找到202，它在199-202之间。
第十三步找到200。
在n=10000的这个问题来讲，从200步到13步是一个很大的改进。如果我在这里写200步，那我肯定是傻了。
使用二分法找数组中的一个值的下标，如果没有找到则返回-1
int index=-1;
public void BisectionFind(int a[],int l,int r,int target){
if(l<r){
int mid=(l+r)/2;
if(a[mid]<target)
BisectionFind(a,mid+1,r,target);
else if(a[mid]>target)
BisectionFind(a, l, mid-1, target);
else
{
index=mid;
return;
}
}
}
public static void main(String[] args)
{
SqrtDemo sq=new SqrtDemo();
int a[]={5,13,19,21,37,56,64,75,80,88,92};
sq.BisectionFind(a, 0, a.length-1, 21);
System.out.println(sq.index);
}
2.求根号
对于我来说，最早接触的有序数列大概就是数轴了，要在数轴上找到一个根号的具体值，就是从数轴上找一个数乘以自己看是否在所求数字的周围。如果精确度可以接受的话，那么就采用这个值为这个数的根号的近似值。
这回我们舍弃的是半个数轴，半个数轴按照精确度的不同，它会产生不同的复杂度。所以二分法的效率，远远高于按序查找。
public double sqrt1(double number,double precision){
double up=(number>1?number:1);
double down=0;
double n;
int time=0;
while(true){
n=(down+up)/2;
if(n*n-number<precision && n*n-number>=0)
break;
else if(n*n-number>precision)
up=n;
else if(n*n-number<0)
down=n;
time++;
System.out.println(n);
}
System.out.println("time="+time);
return n;
}
SqrtDemo sq=new SqrtDemo(); System.out.println(sq.sqrt1(10, 0.001));
上面两种问题，它们能确定这个问题的解就在序列的内部，所以它们在执行的时候都转换成了寻找子问题的解。在不断分割问题的过程中，问题的复杂度急剧下降，效率大大地提高了。
- 快速排序（QuickSort）
经典的分治法案例，在乱序数组中做到了O（nlogn）的效率，对冒泡法（O（n*n））的一个很大的改进。
快速排序的步骤：1.寻找一个基准元素
2.从右向左寻找大于（小于）基准元素的值
3.从左向右寻找小于（大于）基准元素的值
4.使得基准元素左边都是小于（大于）它的元素，右边都是大于（小于）它的元素
5.递归的处理基准元素左边与右边的模块
C++版
int Partition1(int a[],int i,int j){
int start=i;
int end=j;
int x=a[i];
while(start<end){
while(a[end]>=x && end>start)
end--;
swap(a[start],a[end]);
while(a[start]<=x && end>start)
start++;
swap(a[start],a[end]);
}
cout<<"中心位置："<<start<<endl;
return start;
}
void quickSort1(int a[],int p,int r){
if(p<r)
{
int x=Partition1(a, p, r);
quickSort1(a, p, x-1);
quickSort1(a, x+1, r);
}
}
Java版
public int Partition(int a[],int p,int r){
int start=p;
int end=r;
int x=a[p];
while(start<end){
while(start<end && a[end]>=x)
end--;
if(start<end)
a[start++]=a[end];
while(start<end && a[start]<=x)
start++;
if(start<end)
a[end--]=a[start];
}
a[start]=x;
return start;
}
public void quickSort(int a[],int i,int j){
if(i<j){
int p=Partition(a, i, j);
quickSort(a, i, p-1);
quickSort(a, p+1, j);
}
}
Python版
def Partition(a,p,r):
x=a[p]
i=p
j=r
while(1):
while(1):
if(a[i]<=x and i<len(a)-1):
i=i+1
else:
break
while(1):
if(a[j]>=x and j>0):
j=j-1
else:
break
if(i>=j):
break
else:
a [j], a [i] = a [i], a [j]
a[p]=a[j]
a[j]=x
return j
def quickSort(a,i,j):
if(i<j):
p=Partition(a,i,j)
quickSort(a,i,p-1)
quickSort(a,p+1,j)
def PartitionDemo(a,p,r):
x=a[p]
start=p
end=r
while start<end :
while start<end and a[end]>=x :
end-=1
while start<end and a[start]<x :
a[start]=a[end]
start+=1
a[end]=a[start]
a[start]=x
return start
def quickSortDemo(a,i,j):
if(i<j):
q=PartitionDemo(a,i,j)
quickSortDemo(a,i,q-1)
quickSortDemo(a,q+1,j)
a=[9,5,2,4,7,3,6,8,15,18,11,13]
quickSortDemo(a,0,len(a)-1)
print a
- 归并排序（MergeSort）
作为经典排序算法，使用分治策略，归并排序无疑是最能体现分治思想并且易于理解的一种算法。它在排序之前先将序列分割成最短为1的小数组。当长度为1的时候，数组无疑是有序的。合并的时候就如树形结构逆着生成根节点一样，子问题排序、合并，最终生成一个有序的数组。
C++版
void merge(int a[],int b[],int p,int mid,int r){
int i=p;
int j=mid+1;
int t=p;
while(i<=mid && j<=r){
if(a[i]<a[j])
b[t++]=a[i++];
else if(a[j]<=a[i])
b[t++]=a[j++];
}
if(i!=mid)
while(t<=r)
b[t++]=a[j++];
else
while(t<=r)
b[t++]=a[i++];
for(i=p;i<=r;i++)
a[i]=b[i];
}
void MergeSort(int a[],int b[],int start,int end){
if(start<end){
int mid=(start+end)/2;
MergeSort(a,b,start,mid);
MergeSort(a,b,mid+1,end);
merge(a,b,start,mid,end);
}
}
Java版
public void merge(int a[],int b[],int start,int mid,int end){
int i=start;
int j=mid+1;
int k=start;
while(i<=mid && j<=end){
if(a[i]<=a[j])
b[k++]=a[i++];
else
b[k++]=a[j++];
}
while(i<=mid)
b[k++]=a[i++];
while(j<=end)
b[k++]=a[j++];
for(i=start;i<=end;i++)
a[i]=b[i];
}
public void MergeSort(int a[],int b[],int start,int end){
if(start<end)
{
int mid=(start+end)/2;
MergeSort(a,b,start,mid);
MergeSort(a,b,mid+1,end);
merge(a,b,start,mid,end);
}
}
- 总结
分治法作为一个比较重要的算法，思想的理解来说还是比较简单的。但是它写起代码来确实有些许抽象。从C++到java再到python，虽然我一直按照着它的思想来写，但是不同语言的实现确实有些小小的区别。至今我还描述不出来，但是这给我提了个醒，学算法一定要做题！不仅地把经典算法的实现老老实实写出来，还要认真地体会它的细节，不停在脑子里画出程序的执行结构图，使之形成习惯。
