海明校验码

一、概述

　　由Richard Hamming于1950年提出、目前还被广泛采用的一种很有效的校验方法，是只要增加少数几个校验位，就能检测出二位同时出错、亦能检测出一位出错并能自动恢复该出错位的正确值的有效手段，后者被称为自动纠错。它的实现原理，是在k个数据位之外加上r个校验位，从而形成一个k+r位的新的码字，使新的码字的码距比较均匀地拉大。把数据的每一个二进制位分配在几个不同的偶校验位的组合中，当某一位出错后，就会引起相关的几个校验位的值发生变化，这不但可以发现出错，还能指出是哪一位出错，为进一步自动纠错提供了依据。

二、基本思想

　　将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位，做奇偶测试，就能提供多位检错信息，以指出最大可能是哪位出错，从而将其纠正。实质上，海明校验是一种多重校验。

三、特点

　　它不仅具有检测错误的能力，同时还具有给出错误所在准确位置的能力　但是因为这种海明校验的方法只能检测和纠正一位出错的情况。所以如果有多个错误，就不能查出了。 　假设为k个数据位设置r个校验位，则校验位能表示2^r个状态，可用其中的一个状态指出 "没有发生错误"，用其余的2 ^r -1个状态指出有错误发生在某一位，包括k个数据位和r个校验位，因此校验位的位数应满足如下关系:

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2^r-1 ≥ k + r (2.8)

k值	最小r值
1	2
2～4	3
5～11	4
12～26	5
27～57	6
58～120	7

 

四、分组原则

　　在海明码中， 位号数（1、2、3、……、n）为2的权值的那些位，即：1(2^0)、2(2^1)、4(2^2)、8(2^3)、…2^(r-1)位，作为奇偶校验位，并记作: P1、P2、P3 、P4、…Pr，余下各位则为有效信息位。例如： N=11（海明码位数）K=7（数据位数）r=4（校验位） ，相应海明码可表示位号为： 1， 2， 3， 4 ，5 ，6， 7， 8， 9 ，10 ，11，校验位P占第1，2，4，8位，其他位为有效信息位，海明码中的校验位分别标示为P1,P2,P3,P4… Pr ,并被信息位中的一至若干位所校验，其规律是：第i位，由校验位位号之和等于i的那些校验位所校验，如：海明码的位号为3，它被P1P2（位号分别为1,2）所校验，海明码的位号为5，它被P1P3（位号分别为1,4）所校验。归并起来: 形成了4个小组，每个小组一个校验位，校验位的取值，仍采用奇偶校验方式确定。

 

 

五、实例

　　海明码（也叫汉明码）具有一位纠错能力。本文以1010110这个二进制数为例解释海明码的编码和校验方法。

　　1、编码确定校验码的位数x

　　设数据有n位，校验码有x位。则校验码一共有2^x种取值方式。其中需要一种取值方式表示数据正确，剩下2^x-1种取值方式表示有一位数据出错。因为编码后的二进制串有n+x位，因此x应该满足

2^x-1 ≥　n+x　　　

　　使不等式成立的x的最小值就是校验码的位数。在本例中，n=7，解得x=4。

　　2、确定校验码的位置

　　校验码在二进制串中的位置为2的整数幂。剩下的位置为数据。如图所示。

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
内容	x1	x2	1	x3	0	1	0	x4	1	1	0

 　　3、求出校验位的值

　　以求x2的值为例。为了直观，将表格中的位置用二进制表示。

位置	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011
内容	x1	x2	1	x3	0	1	0	x4	1	1	0

　　为了求出x2,要使所有位置的第二位是1的数据（即形如**1*的位置的数据）的异或值为0。即x2^1^1^0^1^0 = 0。因此x2 = 1。

　　同理可得x1 = 0, x3 = 1, x4 = 0。

位置	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011
内容	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	0

　　因此1010110的海明码为01110100110。

　　4、校验

　　假设位置为1011的数据由0变成了1，校验过程为：

　　将所有位置形如***1, **1*, *1**, 1***的数据分别异或。

　　***1: 0^1^0^0^1^1 = 1

　　**1*: 1^1^1^0^1^1 = 1

　　*1**: 1^0^1^0 = 0 

　　1***: 0^1^1^1 = 1

　　以上四组中，如果一组异或值为1，说明该组中有数据出错了。***1 **1* 1***的异或都为1，说明出错数据的位置为1011。