Medium | LeetCode 62. 不同路径 | 数学组合数 | 动态规划

62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

解题思路

这道题高中学过排列组合的就知道, 这是一道组合问题。比如M = 7, N = 3, 则总共需要向右走6步, 向下走2步, 何时向右走, 何时向下走, 就是所有的方案的组成的依据。答案就是C(M+N-2, N-1)

方法一： 数学排列组合

public int uniquePaths(int m, int n) {
    long ans = 1;
    for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
        ans = ans * x / y;
    }
    return (int) ans;
}

方法二：动态规划

方法一运用数学知识简单快捷, 其实也可使用动态规划的方法, 状态转移方程如下：

\[f(i, j)=f(i-1, j)+f(i, j-1) \]

某个位置的路径数 = 上边路径数 + 左边路径数。

从左到右, 从上往下填一张二维表格即可。

public int uniquePaths(int m, int n) {
    int[][] f = new int[m][n];
    // 将边界初始化为1
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        f[i][0] = 1;
    }
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        f[0][j] = 1;
    }
    // 接着计算里面的所有单元格
    // 计算原则是 某个位置的路径数 = 上边路径数 + 左边路径数。
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
        for (int j = 1; j < n; ++j) {
            f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
        }
    }
    return f[m - 1][n - 1];
}