Easy | 剑指 Offer 57 - II. 和为s的连续正数序列 | 双指针 | 数学

剑指 Offer 57 - II. 和为s的连续正数序列

输入一个正整数 target ，输出所有和为 target 的连续正整数序列（至少含有两个数）。
序列内的数字由小到大排列，不同序列按照首个数字从小到大排列。

示例 1：

输入：target = 9
输出：[[2,3,4],[4,5]]

示例 2：

输入：target = 15
输出：[[1,2,3,4,5],[4,5,6],[7,8]]

限制：

• 1 <= target <= 10^5

方法一： 双指针遍历

先固定一个指针, 然后一个指针不断向右遍历, 直到两指针中间的和大于目标值即可。

public int[][] findContinuousSequence(int target) {
    List<int[]> res = new ArrayList<>();
    int left = 1, right = 2;
    while(left < right && left <= target/2) {
        int curSum = (right + left) * (right - left + 1) / 2;
        if (curSum == target) {
            int[] curRes = new int[right - left + 1];
            for (int i = left; i <= right; i++) {
                curRes[i - left] = i;
            }
            res.add(curRes);
            right++;
        } else if (curSum < target) {
            // 当两指针之间和小于target时, 右指针继续向前
            right++;
        } else {
            // 当超过了target值, 此后此left就要换个位置了
            // 此时right不必回溯, 因为此时[left+1, right-1]之间的和必定小于target
            left++;
        }
    }
    return res.toArray(new int[res.size()][]);
}

方法二： 枚举 + 数学优化

x 累加到 y 的和由求和公式如下：

\[\frac{(x+y) *(y-x+1)}{2}=\text { target } \]

转化为如下：

\[y^{2}+y-x^{2}+x-2 * \text { target }=0 \]

套用求和公式, 则问题转化为两个条件

• 判别式 b^2 - 4ac 开根号必须是整数。(固定X, 移动Y, 把方程看作是Y为变量的一元二次方程)
• 最后的求根公式的分子需要为偶数，因为分母为 22

public int[][] findContinuousSequence(int target) {
    List<int[]> vec = new ArrayList<int[]>();
    int sum = 0, limit = (target - 1) / 2; // (target - 1) / 2 等效于 target / 2 下取整
    for (int x = 1; x <= limit; ++x) {
        long delta = 1 - 4 * (x - (long) x * x - 2 * target);
        if (delta < 0) {
            continue;
        }
        int delta_sqrt = (int) Math.sqrt(delta + 0.5);
        if ((long) delta_sqrt * delta_sqrt == delta && (delta_sqrt - 1) % 2 == 0) {
            int y = (-1 + delta_sqrt) / 2; // 另一个解(-1-delta_sqrt)/2必然小于0，不用考虑
            if (x < y) {
                int[] res = new int[y - x + 1];
                for (int i = x; i <= y; ++i) {
                    res[i - x] = i;
                }
                vec.add(res);
            }
        }
    }
    return vec.toArray(new int[vec.size()][]);
}