Medium | LeetCode 96. 不同的二叉搜索树 | 动态规划 | 数学

96. 不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解题思路

方法一： 动态规划

遍历每个数字 ii，将该数字作为树根，将 1⋯(i−1) 序列作为左子树，将 (i+1)⋯n 序列作为右子树。接着我们可以按照同样的方式递归构建左子树和右子树。

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] G = new int[n + 1];
        G[0] = 1;
        G[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                // 以任意节点作为根节点, 然后其左右子树的个数的乘积就是此根节点的二叉搜索树的数量
                G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
            }
        }
        return G[n];
    }
}

方法二： 数学

事实上我们在方法一中推导出的 G(n)函数的值在数学上被称为卡塔兰数 C_n

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        // 提示：我们在这里需要用 long 类型防止计算过程中的溢出
        long C = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int) C;
    }
}