Medium | LeetCode 96. 不同的二叉搜索树 | 动态规划 | 数学
96. 不同的二叉搜索树
给定一个整数 n,求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种?
示例:
输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:
1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3
解题思路
方法一: 动态规划
遍历每个数字 ii,将该数字作为树根,将 1⋯(i−1) 序列作为左子树,将 (i+1)⋯n 序列作为右子树。接着我们可以按照同样的方式递归构建左子树和右子树。
class Solution {
public int numTrees(int n) {
int[] G = new int[n + 1];
G[0] = 1;
G[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
for (int j = 1; j <= i; ++j) {
// 以任意节点作为根节点, 然后其左右子树的个数的乘积就是此根节点的二叉搜索树的数量
G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
}
}
return G[n];
}
}
方法二: 数学
事实上我们在方法一中推导出的 G(n)函数的值在数学上被称为卡塔兰数 C_n
class Solution {
public int numTrees(int n) {
// 提示:我们在这里需要用 long 类型防止计算过程中的溢出
long C = 1;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
}
return (int) C;
}
}