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剑指 Offer 14- I. 剪绳子

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

• 2 <= n <= 58

方法一： 动态规划

用dp[i]表示长度为i的绳子可以剪得的各个长度的最大乘积

递归关系： 长度为i的绳子可剪的最大乘积dp[i] 取决于 将其剪为(1, i-1), (2, i-2) ... 等长度的最大的积。

这道题有几个地方要注意：

1. 绳子是必须要剪的, 不存在一个长度为i的绳子剪成(0,i)两段。

2. 当n > 3时, 其剪之后的乘积一定大于自身, 对于3来讲, 剪成1,2两段最大, 小于自身。所以当计算比3大的绳子长度, 需要用到dp[3]时候, 就不能将2返回了, 只能用3, 即使2是对于一个长度为3的必须要剪的绳子的最大的乘积。

public int cuttingRope(int n) {
    switch(n) {
        case 0: return 0;
        case 1: return 1;
        case 2: return 1;
        case 3: return 2;
    }
    int[] dp = new int[n+1];
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    dp[3] = 3; // 这个地方要特别注意, dp[3] 不能通过下面的循环计算出来。
    for(int i = 4; i <= n; i++) {
        // 循环遍历所有小于当前i的值, 计算剪成(i, i-cut)两段的最大乘积。
        for (int cut = 1; cut <= i / 2; cut++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i], dp[cut] * dp[i - cut]);
        }
    }
    return dp[n];
}