Kronecker积与二次多项式基向量

Kronecker积(Kronecker Product)

Kronecker积是两个矩阵的张量积，记作$A\otimes B$。具体来说，如果$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$p\times q$矩阵，则$A\otimes B$是一个$mp\times nq$的矩阵，其元素由以下公式给出：

$$(A\otimes B{)}_{i,j}=A_{i^{\prime },j^{\prime }}{B}_{i^{″},j^{″}}$$

其中$i=(i^{\prime }-1)p+i^{″}$且$j=(j^{\prime }-1)q+j^{″}$，$1\le i^{\prime }\le m,1\le j^{\prime }\le n,1\le i^{″}\le p,1\le j^{″}\le q$。

为了更好地理解，我们来看一个例子：

设$A$和$B$分别为：

$$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$$

$$B=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$$

则$A\otimes B$为：

$$A\otimes B=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}B& a_{12}B\\ a_{21}B& a_{22}B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)& a_{12}\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)\\ a_{21}\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)& a_{22}\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)\end{array}\right)$$

二次多项式基向量(quadratic polynomial basis vector)

一个二次多项式可以表示为：

$$f(x)=a{x}^2+bx+c$$

对于向量$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$，二次多项式基向量可以扩展为：

$${\left(\begin{array}{ccccccccccccc}{x}_1^2& x_1{x}_2& \cdots & x_1{x}_n& x_2^2& x_2{x}_3& \cdots & x_n^2& x_1& x_2& \cdots & x_n& 1\end{array}\right)}^T$$

这个向量包含所有可能的二次项和一次项，以及一个常数项。