Kronecker积与二次多项式基向量
Kronecker积(Kronecker Product)
Kronecker积是两个矩阵的张量积，记作\(A \otimes B\)。具体来说，如果\(A\)是\(m \times n\)矩阵，\(B\)是\(p \times q\)矩阵，则\(A \otimes B\)是一个\(mp \times nq\)的矩阵，其元素由以下公式给出：
\[(A \otimes B)_{i,j} = A_{i',j'} B_{i'',j''}
\]
其中\(i = (i'-1)p + i''\)且\(j = (j'-1)q + j''\)，\(1 \leq i' \leq m, 1 \leq j' \leq n, 1 \leq i'' \leq p, 1 \leq j'' \leq q\)。
为了更好地理解，我们来看一个例子：
设\(A\)和\(B\)分别为：
\[A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\]
\[B = \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
\]
则\(A \otimes B\)为：
\[A \otimes B = \begin{pmatrix}
a_{11}B & a_{12}B \\
a_{21}B & a_{22}B
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a_{11} \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix} & a_{12} \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix} \\
a_{21} \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix} & a_{22} \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\]
二次多项式基向量(quadratic polynomial basis vector)
一个二次多项式可以表示为：
\[f(x) = ax^2 + bx + c
\]
对于向量\(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T\)，二次多项式基向量可以扩展为：
\[\begin{pmatrix}
x_1^2 & x_1x_2 & \cdots & x_1x_n & x_2^2 & x_2x_3 & \cdots & x_n^2 & x_1 & x_2 & \cdots & x_n & 1
\end{pmatrix}^T
\]
这个向量包含所有可能的二次项和一次项，以及一个常数项。
