流形、李群、李代数、四元数相关

流形

流形（英語：Manifolds）是可以局部欧几里得空间化的一个拓扑空间，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。
是多个局部欧式空间的开区域链接而成的。

拓扑空间

拓扑空间是一个集合  X 和其上定义的拓扑结构 τ 组成的二元组 ( X , τ ) 。 X  的元素  x 通常称为拓扑空间  ( X , τ ) 的点。而拓扑结构 τ 一词涵盖了开集，闭集，邻域，开核，闭包，导集，滤子等若干概念。从这些概念出发，可以给拓扑空间 ( X , τ ) 作出若干种等价的定义。在教科书中最常见的定义是从开集开始的。

李代数()

李代数是一个在域 F 上的向量空间 g ，具有满足以下条件的二元运算 [ ⋅ , ⋅ ] : g × g → g （称为李括号）：

李群(SO)

李群（英语：Lie group，/ˈliː/）是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形。
群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素，需要满足群公理(group axioms)，即：

封闭性：a ∗ b is another element in the set

结合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

单位元（幺元）：a ∗ e = a and e ∗ a = a

逆 元：加法的逆元为-a，乘法的逆元为倒数1/a，… (对于所有元素)

从李群G到其李代数g上的一个线性变换叫做这个李群的伴随表示

同构

只要一个线性变换 T:V → W 是可逆的，那么这个线性变换就称之为同构（英語：isomorphism)。

在抽象代数中，同构指的是一个保持结构的双射。 在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射。

态射

数学上，态射（morphism）是两个数学结构之间保持结构的一种映射。