第四章 数学知识二

欧拉函数

什么是欧拉函数

欧拉函数$\varphi (n)$：1 - n 中与 n 互质的数的个数

例如：$\varphi (6)=2$，1 - 6 中与 6 互质的数为 1、5

a，b互质就是gcd(a,b) = 1

如何求解欧拉函数

对于一个数N，可以分解质因数为$N=P_1^{k_1}\times P_2^{k_2}\times \cdots \times P_n^{k_n}$，则$\varphi (N)=N\times (1-\frac{1}{P_1})\times (1-\frac{1}{P_2})\times \cdots \times (1-\frac{1}{P_n})$

比如 $6=2\times 3$，则$\varphi (6)=6\times (1-\frac{1}{2})\times (1-\frac{1}{3})=2$

证明

利用容斥原理

1. 从1 - N 中 去除其全部质因子$P_1\dots P_n$的所有倍数，那么还剩下$S_1=N-\frac{N}{P_1}-\frac{N}{P_2}-\cdots -\frac{N}{P_n}$个数
2. 有的数既是$P_i$的倍数又是$P_j$的倍数因此被减了两遍，需要将这一部分加回来，$S_2=S_1+\frac{N}{P_1\times P_2}+\frac{N}{P_1\times P_3}+\cdots +\frac{N}{P_1\times P_n}+\frac{N}{P_2\times P_3}+\cdots +\frac{N}{P_2\times P_n}+\cdots +\frac{N}{P_{n-1}\times P_n}$
3. 有的数是$P_i$、$P_j$、$P_k$的倍数，在第一步减了三次，在第二步加了三次，相当于没加也没减，因此需要减掉一次，因此$S_3=S_2-\frac{N}{P_i\times P_j\times P_k}$，$[i,j,k]$是1 - n的一组排列

以此类推到第n步，化简就是上边的公式

代码模板

int phi(int x)
{
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);

    return res;
}

！注意每一步计算$res\times (1-\frac{1}{i})$可能会出现小数，可以转换为$\frac{res}{i}\times (i-1)$就能保证结果是整数

筛法求欧拉函数

利用质数的线性筛法求1-n的欧拉函数

由于在线性筛法的执行过程中，对于质数会保留，对于合数会用其最小质因子筛掉。所以线性筛法是会访问到所有数的。而根据上面的推导，在遇到每种情况时，我们都能求出欧拉函数

• 当这个数是质数：$\varphi (i)=i-1$

• 当这个数是合数：

  某个合数一定是被$‘p_j\times i$` 给删掉的，我们就在删他的时候求他的欧拉函数值

  1. 如果 i % pj == 0 ,那么pj就是i的某个质因数，那么$‘p_j\times i‘$和i的质因数组合完全相同，所以$\varphi (pj\times i)=pj\times \varphi (i)$
  2. 如果i % pj != 0,那么$‘p_j\times i‘$的质因数组合就是在i的质因数组合基础上加了一个pj,所以$\varphi (pj\times i)=pj\ast \varphi (i)\times (1-\frac{1}{pj})=(pj-1)\times \varphi (i)$

代码模

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
int euler[N];           // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉

void get_eulers(int n)
{
    euler[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                euler[t] = euler[i] * primes[j];
								break;
						}
						euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
				}
}

欧拉函数应用

欧拉定理：若a与n互质，那么有$a^{\varphi (n)}$ mod $n=1$

费马定理：若a与p互质，p是质数，那么有$a^{\varphi (p)}$ mod p $=a^{p-1}$ mod p = 1

证明略

快速幂

可以快速的求出$a^k$ mod $p$ 的值，时间复杂度是$O(logk)$，其中a、k、p的范围都是${10}^9$

核心思路：反复平方法

预处理出：$a^{2^0}$ mod p、$a^{2^1}$ mod p、$a^{2^2}$ mod p、$\dots$、$a^{2^{{\log }_{2}k}}$ mod p 一共
${\log }_{2}k$ 个数

当求 $a^k$ mod $p$ 时利用预处理的这些值组合出$a^k$，即将 $a^k$ 拆成 $a^k=a^{2^{x_1}}\times a^{2^{x_2}}\times \cdots \times a^{2^{x_t}}=a^{2^{x_1}+2^{x_2}+\cdots +2^{x_t}}$

得到$k=2^{x_1}+2^{x_2}+\cdots +2^{x_t}$，其实，就只需要把 k 转化为二进制即可

预处理一共计算出${\log }_{2}k$个数，需要计算 $lo{g}_{2}k$ 次，将 k 拆成二进制表示，并计算结果，需要 $lo{g}_{2}k$ 次，所以总共的时间复杂度就是O(${\log }_{2}k$)。其实编写代码时，可以将上面两步合在一起，实际只需要 ${\log }_{2}k$ 次运算，例如$4^5=4^{(101{)}_2}=4^{2^0}\times 4^{2^2}$

代码模板

typedef long long LL;

int qmi(int a, int k, int p) {
    int res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        k >>= 1;
        a = LL(a) * a % p;
    }
    return res;
}

扩展欧几里得算法

裴蜀定理：对于任意正整数a，b，那么一定存在非零整数x，y，使得ax+by=gcd(a,b)

证明：令 gcd(a,b) = c ，则a一定是c的倍数，b也一定是c的倍数，那么ax+by也一定是c的倍数，那么可以凑出最小的倍数就是1倍，即ax+by=gcd(a,b)

给定a，b如何求解x，y就是扩展欧几里得算法

代码模板

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;

扩展欧几里得算法用来解决这样一个问题，ax+by=m，求x，y，如果m是gcd(a,b)的倍数，则有解，解就是倍数乘以x，y，否则就是无解

此外，还可以解线性同余方程/方程组，例如解$ax\equiv b(modm)$，做一下变换就是$ax=km+b$，即$ax-km=b$，就可以用扩展欧几里得算法解决，878. 线性同余方程

解方程组$x\equiv a_1(mod{m}_1)$、$x\equiv a_2(mod{m}_2)\dots$两两合并$x=k_1{m}_1+a_1=k_2{m}_2+a_2$，做一下变换$k_1{m}_1-k_2{m}_2=a_2-a_1$，有解的条件是$a_2-a_1$是$gcd(m_1,m_2)$的倍数，解出通解是$k_1+k\frac{m_2}{d}$、$k_2+k\frac{m_1}{d}$，其中$d=gcd(m_1,m_2)$，带入原式得$x=(k_1+k\frac{m_2}{d})m_1+a1=klcd(m_1,m2)+k_1{m}_1+a_1=km+a$，其中$m=lcd(m_1,m_2)$，$a=k_1{m}_1+a_1$，这样就将两个方程合并成了一个方程，然后继续向后合并计算，直到只有一个方程就可以向上面的方式进行1iu

中国剩余定理

有k个两两互质的数$m_1、m_2、\cdots 、m_k$，给定线性同余方程组$x\equiv a_1(mod{m}_1)$、$x\equiv a_2(mod{m}_2)$、… 、$x\equiv a_k(mod{m}_k)$，求x

解法：令$M=m_1\times m_2\times \cdots \times m_k$，

$M_i=\frac{M}{m_i}$，用$M_i^{-1}$表示$M_i$ 模 $m_i$ 的逆（$M_i\times M_i^{-1}\equiv 1(mod{m}_i)$）

则$x=a_1\times M_1\times M_1^{-1}+a_2\times M_2\times M_2^{-1}+\cdots +a_k\times M_k\times M_k^{-1}$

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本文作者：Chenjq
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