ML-对偶(Duality)问题初识

Primal vs Dual

为什么要把原始问题(primal) 转为 对偶问题(dual), 主要原因在于, 求解方便吧大概.

对偶问题

• 原始问题和其对偶问题, 都是对看待同一个问题的,从不同角度, 例如求解一个最小化问题, 然后通过对偶形式求解最大化问题等.
• 原问题不好求解, 转为对偶问题, 有一种类似逼近的思想, 比如拉格朗日 或是 泰勒级数展开

既然是对于同一个问题的不同角度来看, 假设就两个角度: primal 和 dual. 假设, 在primal 即原始问题下的最优解为 $p*$, 在其dual的角度下, 最优解为 $d^*$则有

• p* = d* (Strong duality), 强对偶, 比如SVM 的KKT条件
• p* != d* (Week duality)

从primal 转为 dual, 可以通过 拉格朗日乘子来实现.

Lower bound property

结论: p >= d**

Standard Form:

$minmize \ f_0(x) \\ s.t. \\ f_i(x) <=0, i=1,2,..m \\ h_j(x) = 0, j = 1,2...p$

通过拉格朗日乘子(将约束转为无约束求极值)

why 拉格朗日乘子法?

• 回顾多元函数求条件极值的思路(高数),

• 假设2维, 曲线g(x,y) = 0 与f(x,y) =Ck, 的等值线(面) 相交, 那么沿着g(x,y)=0的方向两头向曲点靠近, 必然一个方向使得f(x,y)=Ck增大, 而另一个方向使CK减少, 必然在g(x,y)上存在一点使得Ck最小. 而这个点就是f(x,y)=a 与g(x,y)=0 相切的点, 切点处的两个法向量(梯度向量) 是平行的

• 即: 在切点的法向量(梯度方向) 是平行的 (相乘$\lambda$ 倍常数, $\lambda >0$)

假设切点是 $(x_0, y_0)$, 根据f(x,y), g(x,y) 在该处的梯度是平行的, 即

$\nabla f(x_0, y_0) = (f_x(x_0, y_0), f_y (x_0, y_0)) \\ \nabla g(x_0, y_0) = (g_x(x_0, y_0), g_y (x_0, y_0))$

$由 \nabla f(x_0,y_0) // \nabla g(x_0,y_0) 得 \\ \frac {\nabla f(x_0,y_0) } {\nabla g(x_0,y_0)} = -\lambda _0 因此得出:$

$f_x(x_0, y_0) + \lambda_0 \ g_x(x_0,y_0)) = 0 \\ f_y(x_0, y_0) + \lambda_0 \ g_y(x_0,y_0))=0 \\ g(x_0, y_0) = 0$

由此将条件极值问题通过拉格朗日乘子,转为了求解方程组的问题.

为了求解,引入一个辅助函数 $L(x,y, \lambda) = f(x,y) + \lambda \ g(x,y)$

• 这个函数称为拉格朗日函数, $\lambda$ 称为拉格朗日乘子
• 可微函数去极值的必要条件是梯度向量等于零

即: $\nabla L(x_0,y_0, \lambda_0) = 0$, 恰好对应上面的方程组, 巧了吗, 这不是.

(ps, 当然也可以通过分析方法隐函数相关知识来推导出, 这里不展开了).

通过拉格朗日, 将primal 转为dual 即

$L(x, \lambda, \nu) = f_0(x) + \sum _{i=1}^{m} \lambda_i f_i(x) + \sum _{i=1}^p \nu_ih_i(x)$

转为拉格朗日的 dual 函数形式即:

$g(\lambda, \nu) = infimum_x L(x, \lambda, \nu), \ inf..表示下界$

$= inf_x [ f_0(x) + \sum _{i=1}^{m} \lambda_i f_i(x) + \sum _{i=1}^p \nu_ih_i(x) ]$

即所谓的 lower bound property:

即: $g(\lambda, \nu) <= p* = f_0(x*) \leftarrow \forall \lambda, \nu$ (此乃最为关键一环),

这种思想就是: $min \ primal \rightleftharpoons max \ dual$

证明如下:

$minmize \ f_0(x) \\ s.t. \\ f_i(x) <=0, i=1,2,..m \\ h_j(x) = 0, j = 1,2...p$

假设 x' 是primal 问题的可行解, 即:

$L(x', \lambda, \nu) = f_0(x') + \sum _{i=1}^{m} \lambda_i f_i(x') + \sum _{i=1}^p \nu_ih_i(x')$ , 则必然有

$f_0(x') >= L(x', \lambda, \nu) >= inf_x (x,\lambda, \nu) = g(\lambda, \nu)$ (可证: $g(\lambda, \nu) 是一个 凹函数 "\cap"这样的$ )

• $\sum _{i=1}^{m} \lambda_i f_i(x') <= 0$, 因为x'是可行解, 满足约束条件
• $\sum _{i=1}^p \nu_ih_i(x') = 0$, 同样因为约束条件

即证: $f_0(x') >= g(\lambda, \nu), 即: p* >= d^*$

case1: Least Norm Minimization

$min \ x^Tx \\ s.t. \ Ax=b$

解:

引入拉格朗日函数:

$L(x, \lambda) = x^Tx + \lambda^T(Ax-b) \\ 首先来"固定"x: \\ \nabla_x L(x, \lambda) = 0 = 2x+ A^T\lambda \\ 得出 x = -\frac {1}{2}A^T \lambda \\ 代入$

$g(\lambda) = inf_x [x^Tx + \lambda ^T (Ax-b)] \\ = (-\frac {1}{2}A^T \lambda) ^T (-\frac {1}{2}A^T \lambda) + \lambda ^T[A( -\frac {1}{2}A^T \lambda)-b]$

$= \frac {1}{4} \lambda^T A A^T \lambda - \frac {1}{2} \lambda^T AA^T \lambda - \lambda^Tb$

$= - \frac{1}{4} \lambda^T AA^T \lambda - \lambda^Tb$

即: $p* >= - \frac{1}{4} \lambda^T AA^T \lambda - \lambda^Tb$

即对应的dual:

$max \ z = - \frac{1}{4} \lambda^T AA^T \lambda - \lambda^Tb \\ s.t. ..$

case2: Linear Programing

$min \ w^Tx \\ s.t. \\ Ax=b \\ x \succ =0$

先进行标准化得到:

$min \ w^Tx \\ s.t. \\ Ax=b \\ -x <=0$

引入拉格朗日函数得:

$L(x, \lambda, \nu) = w^Tx + \lambda^T (Ax-b) + \nu ^T(-x)$

$= w^Tx + \lambda^T Ax - \lambda ^Tb -\nu^T x$

$= (w + A^T \lambda - \nu) x -\lambda^Tb$

同样首先"固定x:"

$\nabla_x L(x, \lambda, \nu) = 0 = w + A^T \lambda -v \\ 得出: x 好像不影响哦$

将不影响的x 代入g得到:

$g(\lambda, \nu) = inf_x ( -\lambda^Tb)$

即对应的 daul:

$max \ -\lambda ^T b \\ s.t. \ w+A^T \lambda- \nu = 0$

发现 $\nu >0$ 其实跟木目标函数无关, 即可转为:

$max \ -\nu ^T b \\ s.t. \ w+A^T >= 0$

Strong and Weak duality

由上, 关于primal 问题和 dual 问题, 如果其最优解分别是 p* 和 d* ,

根据 lower bound property 的推导则有**p * >= d * ** :

• if p* = d*, 则称为强对偶

• if p* < d*, 则称为弱对偶

强对偶(strong) ,一般情况下不会发生, 在凸函数下一般会成立; 对于non-convex 有时是会成立的. 针对于convex 判断其是强对偶的条件称为:

slater's condtions

即: $minmize \ f_0(x) \\ s.t. \\ f_i(x) <=0, i=1,2,..m \\ h_j(x) = 0, j = 1,2...p$

$\exists \ x', f_i(x') <0, h_j(x')=0$

则称满足 slater's conditons, 可判定该凸函数是强对偶的哦.

complementary slackness

暂时我也不知道该怎么进行翻译, "松弛条件?", 感觉也不大合理. 算了, 就英文吧, 反正都是一个符号而已. 假设, 我们来来*考虑强对偶的情况下(p * = d ):

• x* 是 primal 问题的解
• $\lambda^*, \nu^*$ 是dual 问题的解

$minmize \ f_0(x) \\ s.t. \\ f_i(x) <=0, i=1,2,..m \\ h_j(x) = 0, j = 1,2...p$

即有

$f_0(x^*) = g(\lambda^*, \nu^*) \\ 对于 \\ inf_x [f_0(x) + \sum _{i=1}^{m} \lambda_i ^* f_i(x) + \sum _{i=1}^p \nu_i^*h_i(x) ]$

必然:

$<= inf_x [f_0(x^*) + \sum _{i=1}^{m} \lambda_i ^* f_i(x^*) + \sum _{i=1}^p \nu_i^*h_i(x^*) ]$

• $h_i(x*) = 0$
• $\lambda^* f_i(x^*)<=0$

$<= f_0(x^*)$

这就发现有点矛盾(= 和 <=)了, 要使不等式成立的话, 发现只能取等于哦, 即:

$\lambda^* f_i(x^*)=0$, 这样也就意味着2种情况:

• $\lambda ^* = 0, \ 然后 \lambda^* f_i(x^*)<=0$
• $\lambda ^* > 0, \ 然后 \lambda^* f_i(x^*)=0$

把这个条件: $\lambda^* f_i(x^*)=0$ 就称为 complementary slackness, 它是构成KKT条件的一部分, 后面再整一波KKT吧.