LP线性规划初识

认识LP

线性规划(Linear Programming) 特指目标函数和约束条件皆为线性的最优化问题.

• 目标函数: 多个变量形成的函数

• 约束条件: 由多个等式/不等式形成的约束条件

• 线性规划: 在线性约束条件下,目标函数求极值的问题

• 可行解: 满足线性约束条件下的解

• 可行域: 所有可行解构成的集合

• 最优解: 使目标函数取得极值的可行解

线性

个人觉得最好理解是用向量了. 就是元素满足 加法和数乘 的形式

• $f(a+b) = f(a)+f(b)$

• $f(ca) = c f(a), c为常数$

当然要理解上面两个等式可能需要去理解向量空间, 线性变换这些内容,嗯, 反正我自己已经懂了, 有时间可以分享.

定义模型的步骤

前提一定是线性的哈

• 确定决策变量
• 确定线性目标函数, 求max 或 min
• 确定线性约束条件
• 写出数学模型

case1

球队运作

需求:

需要补充7名球员, 每名球员有攻击值和防守值, 希望7名球员的进攻值大于500, 防守值大于400, 且要尽可能省钱.

	战力值	防守值	价格(万)
进攻型	90	60	1000
平衡性	80	80	800
防守型	40	95	500

求解:

定义决策变量: 假设补充进攻型,防守型,平衡性各a,b,c名, 总价格为y万元,即

(s.t 即 subject to "受制于")

$min \ y = 1000a + 800b + 500c$

s.t.

$90a + 80b +40c >= 500 \\ 60a+ 80b + 95c >= 400 \\a + b+ c = 7 \\ a,b,c >=0$

case2

采购方案

需求:

作为采购经理,有2000元经费, 需采购单价为50元的桌子若干和单价20元的椅子若干.

• 桌椅总数尽可能多
• 椅子数量不少于桌子, 且不多于桌子的1.5倍

求解:

定义决策变量: 购买x1张桌子, x2把椅子, 总数为y.

$max \ y = x1 + x2$

s.t.

$50x1 + 20x2 <= 2000 \\ 1.5x1 >= x2 \\ x1<= x2 \\ x1,x2 >=0$

几何求解

• 约束条件的交集构成可行域

• 最优解即平行移动目标函数, 使其在可行域上达到截距最大

• 而最优解, 就是再交集域的顶点, 而无需在内部考虑.(不用严格用什么向量,几何, 什么定比分店,证明,肯定是边界的顶点上嘛)

证明最优解在边界顶点

假设平面三角形域顶点分别为x1, x2, x3, 最优解x0在三角形内, 过顶点x1,和x0的直线与底边 x2-x3交于点x4.

通过中学学的定点分比, 对x0作分解

$x_0 =$

LP的标准形式

$min \ c^Tx \\ s.t. \ Ax <=b \\ x >= 0$

• x, c, 表列向量, $c^T$是行向量, $c^Tx$表示线性组合

• $Ax=b$ 表示线性齐次方程组, A表示系数拒绝, x表列向量

• if 目标函数是求max, 则 - max 即转为了求min

• if 约束条件有 >= , 则 - (>=) 即转为了 <=

将case2 转为标准型

$min \ y = -x1 + -x2$

s.t.

$50x1 + 20x2 <= 2000 \\ -1.5x1+x2 <= 0 \\ x1-x2<= 0 \\ x1,x2 >=0$

将case2转为松弛型

• 松弛型: 用等式约束来等价表述不等式约束

• 松弛变量度量了等式约束与原不等式约束直接的松弛或差别

• 其实就是为了求解方便呗

$min y = -x1-x2$

s.t.

$50x1 + 20x2 + a1 = 2000 \\ -1.5x1+x2 + a2 =0 \\ x1-x2+a3=0 \\ x1,x2,a1,a2,a3 >=0 \\ 其中a1,a2,a3为松弛变量$

(附) 证明最优解在边界顶点

假设平面三角形域顶点分别为x1, x2, x3, 最优解x0在三角形内, 过顶点x1,和x0的直线与底边 x2-x3交于点x4.

通过中学学的定比分点, 对x0作分解

$x_0 = \lambda_1 x_1 + (1-\lambda_1) x_4, 其中\lambda_1 = ||x0-x1||/||x0-x4||$

$x4 = \lambda_2 x2 + (1- \lambda_2) x3, 其中\lambda_2 = c(定点分比值))$

即:

$x_0 = \lambda_1 x1 + (1-\lambda_1) \lambda_2 x2 + (1-\lambda_1)(1-\lambda_2) x3$

其中 $\lambda_1 + (1-\lambda_1) \lambda_2 + (1-\lambda_1)(1-\lambda_2) = 1$

假设 $c^tx1 > =c^tx2 >= c^tx3, 根据大前提即:\\ c^tx0 >= c^tx1 >= c^tx2 > =c^tx3$

即:

$c^tx_0 =x_0 = \lambda_1 c^t x1 + (1-\lambda_1) \lambda_2 c^t x2 + (1-\lambda_1)(1-\lambda_2) c^t x3$

$>=c^tx_0 =x_0 = \lambda_1 c^t x1 + (1-\lambda_1) \lambda_2 c^t x1 + (1-\lambda_1)(1-\lambda_2) c^t x1$

$= c^tx1$

即说明最优解并不是 x0, 而是顶点x1, 不在内部哦.