[TJOI2015]组合数学

原题

题目描述

为了提高智商,ZJY开始学习组合数学。某一天她解决了这样一个问题：给一个网格图,其中某些格子有财宝。每次从左上角出发,只能往右或下走。问至少要走几次才可能把财宝全捡完。

但是她还不知足,想到了这个问题的一个变形:假设每个格子中有好多块财宝,而每一次经过一个格子至多只能捡走一块财宝,其他条件不变,至少要走几次才可能把财宝全捡完?

这次她不会做了,你能帮帮她吗?

输入输出格式

输入格式：

 

第一行为一个正整数t,表示数据组数

每组数据的第一行是两个正整数n和m,表示这个网格图有n行m列。

接下来n行,每行m个非负整数,表示这个格子中的财宝数量(0表示没有财宝)。

 

输出格式：

 

对于每组数据,输出一个整数,表示至少走的次数。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

1
3 3
0 1 5
5 0 0
1 0 0

输出样例#1： 

10

说明

数据范围

对于30%的数据,n≤5.m≤5,每个格子中的财宝数不超过5块。

对于50%的数据,n≤100,m≤100,每个格子中的财宝数不超过1000块

对于100%的数据,n≤1000,m≤1000,每个格子中的财宝不超过10^6块

 

分析

当你做这道题的时候你会发现数据大的超乎你想像（DP都超时）！！！

所以一定会用到数学定理！

但是是什么数学定理呢？

就是这个定理(不用知道怎么证明):最长反链长度 = 最小链覆盖数

 

 

 

最长反链长度 = 最小链覆盖数:

大前提：在有向无环图中

链是一个点的集合，这个集合中任意两个元素v、u，要么v能走到u，要么u能走到v。

反链是一个点的集合，这个集合中任意两点谁也不能走到谁。

 

最长反链是反链中最长的那个。

 

那么最长反链怎么求呢？

 

另一个东西叫：最小链覆盖。就是用最少的链，经过所有的点至少一次（为什么不叫最少链覆盖啊囧……）

于是Dilwordth定理来了：最长反链长度 = 最小链覆盖数

 

 

 

 

知道这个定理后再结合DP：f[i][j]=第i行第j列的点的最长反链长度

由此我们得出了状态转移方程：f[i][j]=max(f[i+1][j],max(f[i][j-1],f[i+1][j-1]+a[i][j]))

 注意：dp的顺序是从下到上、从左到右！！！

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int t,a[1005][1005],f[1005][1005];
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		int n,m;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		    for(int j=1;j<=m;j++)
		        scanf("%d",&a[i][j]);
	    for(int i=n;i>=1;i--)
	        for(int j=1;j<=m;j++)
	            f[i][j]=max(f[i+1][j],max(f[i][j-1],f[i+1][j-1]+a[i][j]));
	    printf("%d\n",f[1][n]);
	}
	return 0;
}