初识调整法（贪心）

引例：

$证明 : 圆内接四边形中正方形的面积最大$

$在圆上顺时针任取四点 A, B, C, D 构成凸四边形，固定对角线 A C, 分别令 B, D 在对应的圆弧上自由滑动 .$
$∵ S_{四边形 A B C D} = \frac{(d_{B - A C} + d_{D - A C}) \cdot | A C |}{2}$
$∴ 最大化 S_{四边形 A B C D} \Rightarrow 最大化 (d_{B - A C} + d_{D - A C}) \Rightarrow 分别最大化 d_{B - A C} 与 d_{D - A C}$
$显然，当 B, D 分别取到对应圆弧上的平分点时两点到 A C 的距离同时最大$
$∴ 对于任意对角线 A C ， B D 垂直平分 A C 时，即 B D 与直径重合时， S_{四边形 A B C D} 最大$
$∴ 对于所有固定了对角线 A C 的四边形 A B C D 来说， B D 一定与直径重合$
$∴ 圆内接四边形中面积最大的那个的对角线 B D 也一定与直径重合$
$现在调整 A, C 的位置，使得 | A C | 值最大，显然 A C 也与直径重合时， | A C | 最大$
$∴ 对角线 A C ， B D 相互垂直平分 \Rightarrow 四边形 A B C D 是正方形$ $Q E D$

牛刀小试

$正数 a, b, c 满足 a + b + c = 1, 求 a^{2} + b^{2} + 2 c^{2} 的最小值$

拓展探究（选做）

$长度为 n 的实数列 {a_{n}} 满足 \forall i \in [1, n] 有 a_{i} \in [- 1, 1], 且 \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 0$

$(1) 若 x > 0, Δ x \neq 0, 试比较 2 x^{3} 与 (x + Δ x)^{3} + (x - Δ x)^{3} 的大小$

$(2) 证明 : \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{3} < \frac{n}{3}$

posted @ 2024-10-25 22:33 chx#XCPC 阅读(15) 评论(0) 编辑收藏举报

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$证明 : 圆内接四边形中正方形的面积最大$

牛刀小试

$正数 a, b, c 满足 a + b + c = 1, 求 a^{2} + b^{2} + 2 c^{2} 的最小值$

拓展探究（选做）

$长度为 n 的实数列 {a_{n}} 满足 \forall i \in [1, n] 有 a_{i} \in [- 1, 1], 且 \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 0$

$(1) 若 x > 0, Δ x \neq 0, 试比较 2 x^{3} 与 (x + Δ x)^{3} + (x - Δ x)^{3} 的大小$

$(2) 证明 : \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{3} < \frac{n}{3}$

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证明圆内接四边形中正方形的面积最大证明圆内接四边形中正方形的面积最大证明:圆内接四边形中正方形的面积最大

牛刀小试

正数满足求的最小值正数满足求的最小值正数a,b,c满足a+b+c=1,求a2+b2+2c2的最小值

拓展探究（选做）

长度为的实数列满足有且长度为的实数列满足有且长度为n的实数列{an}满足∀i∈[1,n]有ai∈[−1,1],且∑i=1nai=0

若试比较与的大小若试比较与的大小(1)若x>0,Δx≠0,试比较2x3与(x+Δx)3+(x−Δx)3的大小

证明证明(2)证明:∑i=1nai3<n3

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$证明 : 圆内接四边形中正方形的面积最大$

$正数 a, b, c 满足 a + b + c = 1, 求 a^{2} + b^{2} + 2 c^{2} 的最小值$

$长度为 n 的实数列 {a_{n}} 满足 \forall i \in [1, n] 有 a_{i} \in [- 1, 1], 且 \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 0$

$(1) 若 x > 0, Δ x \neq 0, 试比较 2 x^{3} 与 (x + Δ x)^{3} + (x - Δ x)^{3} 的大小$

$(2) 证明 : \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{3} < \frac{n}{3}$