CF605E Intergalaxy Trips 与 对期望的进一步理解

简化题面

给一张无向图，在每一时刻，每一条边权值都为 \(1\) ,出现的概率都是给定的（但不完全相同），问最优决策下 \(1\) 到 \(n\) 的期望。

Attention：

是每条边都会有概率出现，而不是走每条边都会有概率成功，这就意味着，我在某一点的不同的边的出现的情况下，我会做出选择。

#sol.

定义 \(E(i)\) 表示从 \(i\) 节点开始走到终点的期望，我的最优决策其实就是在当前局面下选择最优的节点，即选择联通的 \(E\) 最小的那个点走过去，这一定是最优决策，然后就可以列出一下式子：

假设现在我已经期望给求出来了，并且从小到大排好序了，则满足如下关系：

\[E(u)=[\sum_{i=1}^{E(v_i)<E(u)} p_{u,v_i}\cdot (E(v_i)+1)\prod_{j<i}(1-p_{u,v_j})]+(E(u)+1)\prod_{i=1}^{E(v_i)<E(u)}(1-p_{u,v_i}) \]

\[=>E(u)=\frac{[\sum_{i=1}^{E(v_i)<E(u)} p_{u,v_i}\cdot (E(v_i)+1)\prod_{j<i}(1-p_{u,v_j})]+\prod_{i=1}^{E(v_i)<E(u)}(1-p_{u,v_i})}{1-\prod_{i=1}^{E(v_i)<E(u)}(1-p_{u,v_i})} \]

这个就是推出来的式子，然后现在知道 $E(n)=0 $ ，然后就有点像 \(O(n^2)\) dijkstra 那样一个一个慢慢推，每次我选择当前计算下来 \(E(i)\) 最小的那个来更新别人，从这个式子就可以看出来，一旦用一个元素更新了别人，把么别人指定就会增大，所以如果用 \(a\) 来更新 \(b\) 那么结果上 \(E(a)<E(b)\) 这种更新方法符合如上关系。

理解 \(\color{red}\textbf{[Elite ~Things]}\)

其实求最优决策下的期望并不是固定某一种决策来求期望，而是对于每一种可能出现的局面，可能会有很多种选择，将最优的决策作为这种局面的贡献罢了。