CF605E Intergalaxy Trips 与 对期望的进一步理解

简化题面

给一张无向图，在每一时刻，每一条边权值都为 $1$ ,出现的概率都是给定的（但不完全相同），问最优决策下 $1$ 到 $n$ 的期望。

Attention：

是每条边都会有概率出现，而不是走每条边都会有概率成功，这就意味着，我在某一点的不同的边的出现的情况下，我会做出选择。

#sol.

定义 $E(i)$ 表示从 $i$ 节点开始走到终点的期望，我的最优决策其实就是在当前局面下选择最优的节点，即选择联通的 $E$ 最小的那个点走过去，这一定是最优决策，然后就可以列出一下式子：

假设现在我已经期望给求出来了，并且从小到大排好序了，则满足如下关系：

$$E(u)=[\sum _{i=1}^{E(v_i)<E(u)}{p}_{u,v_i}\cdot (E(v_i)+1)\prod _{j<i}(1-p_{u,v_j})]+(E(u)+1)\prod _{i=1}^{E(v_i)<E(u)}(1-p_{u,v_i})$$

$$=>E(u)=\frac{[\sum _{i=1}^{E(v_i)<E(u)}{p}_{u,v_i}\cdot (E(v_i)+1)\prod _{j<i}(1-p_{u,v_j})]+\prod _{i=1}^{E(v_i)<E(u)}(1-p_{u,v_i})}{1-\prod _{i=1}^{E(v_i)<E(u)}(1-p_{u,v_i})}$$

这个就是推出来的式子，然后现在知道 $E(n)=0$ ，然后就有点像 $O(n^2)$ dijkstra 那样一个一个慢慢推，每次我选择当前计算下来 $E(i)$ 最小的那个来更新别人，从这个式子就可以看出来，一旦用一个元素更新了别人，把么别人指定就会增大，所以如果用 $a$ 来更新 $b$ 那么结果上 $E(a)<E(b)$ 这种更新方法符合如上关系。

理解 $\mathbf{\text{[Elite ~Things]}}$

其实求最优决策下的期望并不是固定某一种决策来求期望，而是对于每一种可能出现的局面，可能会有很多种选择，将最优的决策作为这种局面的贡献罢了。