线段树初步理解

今天ZRtes爆零咯，就不在tes里写了

引言：以前一直只会用线段树2，线段树也是一直当做工具使用，一切线段树的科技除了线段树分治基本都不会，因此特作此文记之

线段树的 lazytag 与 pushdown

为了保证时间复杂度，线段树在做区间修改的时候引入了 lazytag 的概念，目的是为了节省没必要的时间复杂度，但是由于有了这个懒标记的存在，导致线段树的节点之间的时间维度是不统一的（父亲比儿子更加接近现在的状态），因此可以把 lazytag 看做是一个操作的缓存，而 pushdown 则是用父亲节点更加先进的状态来更新儿子节点落后的状态，也就是把父亲节点的缓存清空，缓存的内容一方面用于更改儿子的落后状态，一方面接入到儿子的缓存中，以备更新儿子的儿子。

线段树节点 标准状态 的定义

观察线段树的代码，发现当 L<=l&&r<=R 的时候更新完当前节点后就会退出函数，不在递归，这其实是对标准状态的修改，就比如 线段树1 中的 add 的 tag 本质上就是对于线段树节点标准状态的一个修改（或者叫做增量）。而一个线段树的 标准状态 是在其把缓存都推给儿子之后，递归完儿子之后用儿子的信息来更新父亲节点，这个时候就会对标准状态重新求值，然后所有的增量全部清零，就是有点像把所有的缓存的给永远刻在这个节点上

线段树维护历史版本和

这个时候还需要记一个标记：在这个节点上，相对于时间轴来说有多少次操作是没有被传给儿子的，因此在统计到这个点的时候，一方面所有祖先的这个标记都传给为了当前节点，因此当前节点就是现在状态，而在把这些标记全部传给儿子，想办法把这些操作时儿子的历史和的贡献算出来，把儿子递归完之后，把儿子的状态传回来，更新标准状态，刻进这个节点里头。