笛卡尔树
参考于：http://www.cnblogs.com/pushing-my-way/archive/2012/08/24/2653709.html
笛卡尔树又称笛卡儿树，在数据结构中属于二叉树的一种。
笛卡尔树结构由Vuillmin在解决范围搜索的几何数据结构问题时提出的，从数列中构造一棵笛卡尔树可以线性时间完成，需要采用基于栈的算法来找到在该数列中的所有最近小数。由此可知，笛卡尔树是一种特定的二叉树数据结构，可由数列构造，在范围最值查询、范围top k查询（range top k queries）等问题上有广泛应用。它具有堆的有序性，中序遍历可以输出原数列。
笛卡尔树是一棵二叉树，树的每个节点有两个值，一个为key，一个为value。光看key的话，笛卡尔树是一棵二叉搜索树，每个节点的左子树的key都比它小，右子树都比它大；光看value的话，笛卡尔树有点类似堆，根节点的value是最小（或者最大）的，每个节点的value都比它的子树要大。
构造笛卡尔树的过程：
使用数据结构栈，栈中保存的始终是右链，即根结点、根结点的右儿子、根结点的右儿子的右儿子……组成的链
并且栈中从栈顶到栈底key依次减小
如果按照从后到前的顺序判断一个元素是否大于A[i]，则每次插入的时间复杂度为O(k+1)
k为本次插入中移除的右链元素个数。因为每个元素最多进出右链各一次，所以整个过程的时间复杂度为O(N)。
从前往后遍历A[i]，
1.对于每一个A[i]，从栈中找出（从栈顶往栈底遍历，或者从数组后往前遍历）第一个小于等于A[i]的元素
2.如果找到，i.parent为sta[k],同时sta[k].r=i，即i为sta[k]的右子树,
3.如果栈中存在比A[i]大的元素 这些元素肯定是出栈了，这个问题最后的代码统一表示。
同时，sta[k+1].parent=i; i.l=sta[k+1] 即sta[K+1]为i的左子树
4.最后i入栈，比i大的A[i]都自动出栈了。
例子如下。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .....key
3 2 4 5 6 8 1 9 10 7 .....A,value
stack
0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...num
0
1 2 3 4 5
6 7 8
6 9
最后sta[0].parent=-1; 为根节点 即 6 为根节点。
这里给出的是索引从0开始的[0,n-1]
如果题目给出的是[1,n]，可以减一回到[0,n-1]上
代码：
1 #include <iostream>
2 #include <queue>
3 using namespace std;
4 const int maxnum=10;
5
6 int a[maxnum];
7 struct node
8 {
9 int key;
10 int parent;
11 int l;
12 int r;
13 }tree[maxnum];
14
15
16 void Init()
17 {
18 int i;
19 for(i=0;i<maxnum;i++)
20 tree[i].parent=tree[i].l=tree[i].r=-1; //初始化
21 }
22
23 int Build_Tree()
24 {
25 int i,top,k;
26 int stack[maxnum];
27 top=-1;
28 for(i=0;i<maxnum;i++)
29 {
30 k=top;
31 while(k>=0 && a[stack[k]]>a[i]) //栈中比当前元素大的都出栈
32 k--;
33
34 if(k!=-1) //find it，栈中元素没有完全出栈，当前元素为栈顶元素的右孩子
35 {
36 tree[i].parent=stack[k];
37 tree[stack[k]].r=i;
38 }
39 if(k<top) //出栈的元素为当前元素的左孩子
40 {
41 tree[stack[k+1]].parent=i;
42 tree[i].l=stack[k+1];
43 }
44
45 stack[++k]=i;//当前元素入栈
46 top=k;//top指向栈顶元素
47 }
48 tree[stack[0]].parent=-1;//遍历完成后的栈顶元素就是根
49 return stack[0];
50 }
51
52 void inorder(int node)
53 {
54 if(node!=-1)
55 {
56 inorder(tree[node].l);
57 cout<<tree[node].key<<endl;
58 inorder(tree[node].r);
59 }
60 }
61
62 void levelorder(int node)
63 {
64 queue<int> q;
65 q.push(node);
66 while(!q.empty())
67 {
68 int k=q.front();
69 q.pop();
70 cout<<tree[k].key<<endl;
71 if(tree[k].l!=-1)
72 q.push(tree[k].l);
73 if(tree[k].r!=-1)
74 q.push(tree[k].r);
75 }
76 }
77
78 int main()
79 {
80 int i;
81 Init();
82 for(i=0;i<maxnum;i++)
83 {
84 cin>>a[i];
85 tree[i].key=a[i];
86 }
87
88 int root=Build_Tree();
89
90 //inorder(root);
91 //levelorder(root);
92 return 0;
93 }
94
95 /*
96 3 2 4 5 6 8 1 9 10 7
97 */
