KMP算法

KMP算法

一、理论

　　参考于：http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/3300344.html

　　先介绍前缀数组是如何产生的。首先，要了解两个概念："前缀"和"后缀"。 "前缀"指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；"后缀"指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。

    来看一个例子：chi表示模式串的前i个字符组成的前缀， next[i] = j表示chi中的开始j个字符和末尾j个字符是一样的(注意下标是字符数目)，而且对于前缀chi来说，这样的j是最大值。next[i] = j的另外一个定义是：有一个含有j个字符的串，它既是chi的真前缀，又是chi的真后缀。 

    规定：next[1] = next[0] = 0，这个规定不像0！=1那样，而是确实是这样子，不懂得看上面的前后缀概念。注意：next数组里并不是首尾回文串，而是前缀等于后缀，理解这个对于递推求next数组很重要哟。next[i]就是前缀数组，下面通过1个例子来看如何构造前缀数组。 

     例：cacca有5个前缀，求出其对应的next数组。前缀2为ca，显然首尾没有相同的字符，next[2] = 0，前缀3为cac，显然首尾有共同的字符c，故next[3] = 1，前缀4为cacc，首尾有共同的字符c，故next[4] = 1，前缀5为cacca，首尾有共同的字符ca，故next[5] = 2。如果仔细观察，可以发现构造next[i]的时候，可以利用next[i-1]的结果。比如abcdabc，模式已求得next[7] = 3，为求next[8]，可以直接比较第4个字符和第8个字符，如果它们相等，则next[8] = next[7]+1 = 4，这是因为next[7] = 3保证了前缀ch7的末尾4个字符的前3个字符是一样的。但如果这两个字符不想等呢？那就继续迭代，利用(k=3)k = next[k]的值来求,直到k=0(next[8] = 0)或者字符相等(next[8] = k+1)。

二、例子与实现

　　已知模式字符串P[1..m]与文本字符串T[1..n]，且已知模式字符P[1..q]与文本字符T[s+1..s+q]匹配，那么满足：P[1..k]=T[s1+1..s1+k]，其中s1+k=s+q，k是满足条件的最大值，如下图所示。

 

　　从图中可以看出，如果P[q+1]与T[s+q+1]不匹配，无需把P[1..k]与T[s1+1..s1+k]的字符先比较，由公式P[1..k]=T[s1+1..s1+k]可知它们肯定是匹配的，同样如果拿P[k+1]与T[s+q+1]比较，如果不匹配，则用k中的前k1(k1满足P[1..k1]=T[s2+1..s2+k1])个当做k，来比较P[k+1]与T[s+q+1]，一直下去，直到P[k+1]= T[s+q+1]。

可以用模式与自身进行比较，在指定匹配长度为q的条件下，预先计算出k的值。

具体实现：

　　q为匹配字符的长度，k为满足等式中P[1..k]=T[s1+1..s1+k]的前缀最长长度值。prefix_func[]存放在匹配了长度为q的条件下k的值。通过prefix_func[]，就可以依据相同的算法获得P对T的模式匹配，如下面的KMP算法。

int next[100];

void GetNext(char *t)
{
    int i = 0, j = -1;  //注意j=-1

    if (t == NULL)
        return;
    next[0] = -1;
    while (t[i])
    {
        if (j == -1 || t[i] == t[j])  //为了获得next[i+1]，默认next[1]=0    
        {
            i++;
            j++;
            next[i] = j;
        }
        else
            j = next[j];
    }
}
int Kmp(char *s, char *t)
{
    int i = 0, j = 0;  //注意i和j的初值

    if (s == NULL || t == NULL)
        return -1;

    while (s[i] && (j == -1 || t[j]))
    {
        if (j == -1 || s[i] == t[j]) //j==-1说明s[i]开头的字串不可能和t匹配，所以s直接到下一个字符去，理解这个很重要  
        {
            i++;
            j++;
        }
        else 
            j = next[j];
    }
    if (!t[j])
        return (i - j);
    return -1;
}

next[i]（假设next[i]=k）记录的是P[0~k]==P[i-1-k~i-1]，这点和前面的理论稍有不同。