abc 232 e 题解

abc 232 e

题意#

有一个 $n\times m$ 的矩阵，一开始有个物品放在 $(x_1,y_1)$ 上。

有 $k$ 次操作，每次操作可以将这个物品移动到同一行或者同一列的另一个格子上。

请你求出在 $k$ 次操作后，使得这个物品到达 $(x_2,y_2)$ 的方法有多少种，对 998244353 取模。

思路#

首先，这道题我们先考虑暴力。

$d{p}_{x,y,k}$ 表示走 $k$ 步到格子 $(x,y)$ 的方案数。

那么就有转移：

$$d{p}_{x,y,k}=\sum _{x^{\prime }=x,y^{\prime }\ne y}d{p}_{x^{\prime },y^{\prime },k-1}+\sum _{x^{\prime }\ne x,y^{\prime }=y}d{p}_{x^{\prime },y^{\prime },k-1}$$

所以，状态总数为 $n\times m\times k$，每次有 $n+m$ 种转移，总时间复杂度为 $O(n\times m\times k\times (n+m))$，也就是 ${10}^{33}$，很明显会超时。

通过打表输出 dp 数组，我们可以发现，整个矩阵最后的结果一共可以分为四种：

1. 起点

2. 和起点同行的点

3. 和起点同列的点

4. 和起点不同行也不同列的点

所以，$d{p}_{k,0}$ 表示用 $k$ 步走到起点的方案数，$d{p}_{k,1}$ 表示用 $k$ 步走到与起点同行的其他的点的方案数，$d{p}_{k,2}$ 表示用 $k$ 步走到与起点同列的其他的点的方案数，$d{p}_{k,3}$ 表述用 $k$ 步走到和起点不同行也不同列的点的方案数。

那么，转移是什么呢？

我们可以画一个图来看一看。

$$d{p}_{k,0}=d{p}_{k-1,1}\times (m-1)+d{p}_{k-1,2}\times (n-1)$$

$$d{p}_{k,1}=d{p}_{k-1,0}+d{p}_{k-1,1}\times (m-2)+d{p}_{k-1,3}\times (n-1)$$

$$d{p}_{k,2}=d{p}_{k-1,0}+d{p}_{k-1,2}\times (n-2)+d{p}_{k-1,3}\times (m-1)$$

$$d{p}_{k,3}=d{p}_{k-1,1}+d{p}_{k-1,2}+d{p}_{k-1,3}\times (n+m-4)$$

所以，时间复杂度为 $O(k)$。