abc 232 e 题解
abc 232 e
题意
有一个 \(n \times m\) 的矩阵，一开始有个物品放在 \((x_1, y_1)\) 上。
有 \(k\) 次操作，每次操作可以将这个物品移动到同一行或者同一列的另一个格子上。
请你求出在 \(k\) 次操作后，使得这个物品到达 \((x_2, y_2)\) 的方法有多少种，对 998244353 取模。
思路
首先，这道题我们先考虑暴力。
\(dp_{x, y, k}\) 表示走 \(k\) 步到格子 \((x, y)\) 的方案数。
那么就有转移：
\[dp_{x, y, k} = \sum _ {x' = x, y' \ne y} dp_{x', y', k - 1} + \sum _ {x' \ne x, y' = y} dp_{x', y', k - 1}
\]
所以，状态总数为 \(n \times m \times k\)，每次有 \(n + m\) 种转移，总时间复杂度为 \(O(n \times m \times k \times (n + m))\)，也就是 \(10 ^ {33}\)，很明显会超时。
通过打表输出 dp 数组，我们可以发现，整个矩阵最后的结果一共可以分为四种：
-
起点
-
和起点同行的点
-
和起点同列的点
-
和起点不同行也不同列的点
所以，\(dp_{k, 0}\) 表示用 \(k\) 步走到起点的方案数，\(dp_{k, 1}\) 表示用 \(k\) 步走到与起点同行的其他的点的方案数，\(dp_{k, 2}\) 表示用 \(k\) 步走到与起点同列的其他的点的方案数，\(dp_{k, 3}\) 表述用 \(k\) 步走到和起点不同行也不同列的点的方案数。
那么，转移是什么呢？
我们可以画一个图来看一看。
\[dp_{k, 0} = dp_{k - 1, 1} \times (m - 1) + dp_{k - 1, 2} \times (n - 1)
\]
\[dp_{k, 1} = dp_{k - 1, 0} + dp_{k - 1, 1} \times (m - 2) + dp_{k - 1, 3} \times (n - 1)
\]
\[dp_{k, 2} = dp_{k - 1, 0} + dp_{k - 1, 2} \times (n - 2) + dp_{k - 1, 3} \times (m - 1)
\]
\[dp_{k, 3} = dp_{k - 1, 1} + dp_{k - 1, 2} + dp_{k - 1, 3} \times (n + m - 4)
\]
所以，时间复杂度为 \(O(k)\)。
