李超线段树

李超线段树

李超线段树是线段树的一个变种，主要支持在平面直角坐标系中动态地插入线段或直线，并查询某一条平行于 \(y\) 轴的直线与所有直线或线段的交点的纵坐标的最值。

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假设只插入直线并且维护最大值：

在李超线段树中，对于每一个结点，我们需要维护的是在这个结点所对应的区间 \([l, r]\) 的中点处取值最大的直线。

假设我们现在有两条直线 \(y_1 = 3x + 5, y_2 = 2x + 6\)，当前结点对应的区间为 \([1, 4]\)：

那么，我们就比较这两条直线在 \(x = 2\) 时的取值：

图中绿色直线是直线 \(y = 3x + 5\)，蓝色直线是 \(y = 2x + 6\)，很显然的，当 \(x = 2\) 时，直线 \(y = 3x + 5\) 更优。

因此，区间 \([1, 4]\) 所对应的直线就是 \(y = 3x + 5\)。

那么 \(y = 2x + 6\) 应该怎么办呢？

这时，我们考虑比较这两条直线的斜率，我们会发现 \(y = 2x + 6\) 的斜率更小一些，也就是意味着，当 \(x > 2\) 时，直线 \(y = 3x + 5\) 的取值一定比 \(y = 2x + 6\) 更大，因此，我们只会用这条直线更新左区间。

但是需要注意的是当两条直线斜率相同时，就可以直接退出了。

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有时候为了防止一些小数的情况，李超线段树通常我会写成左闭右开的形式。

并且由于坐标的范围问题，通常我会写动态开点。

ll F(Node x, int pos) {
    return 1ll * x.k * pos + x.b;
}

void add(Node x) {
    int i = 1, l = -INF, r = INF + 1;
    while (l + 1 <= r) {
        if (tr[i].b == inf) {
            tr[i] = x; break;
        }

        int mid = l + (r - l) / 2;

        if (F(tr[i], mid) > F(x, mid)) swap(tr[i], x);
        if (l + 1 == r || tr[i].k == x.k) break;

        if (tr[i].k > x.k) {
            if (!son[i][1]) son[i][1] = ++c, tr[c] = {0, inf};
            i = son[i][1], l = mid;
        } else {
            if (!son[i][0]) son[i][0] = ++c, tr[c] = {0, inf};
            i = son[i][0], r = mid;
        }
    }
}

ll query(int x) {
    int i = 1, l = -INF, r = INF + 1;
    ll tp = inf;
    while (l + 1 <= r && i) {
        int mid = l + (r - l) / 2;

        tp = min(tp, F(tr[i], x));

        if (l + 1 == r) break;

        if (x < mid) i = son[i][0], r = mid;
        else i = son[i][1], l = mid;
    }
    return tp;
}

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而如果是插入线段的话，事实上就是先找到线段所覆盖的区间，然后和直线一样更新线段树上的直线即可。

这里最需要注意的就是左闭右开区间的边界判断问题。

void modify(int i, int l, int r, int ql, int qr, Node x) {
    if (qr <= l || ql >= r) return ;
    if (ql <= l && r <= qr) {
        add(x, i, l, r);
        return ;
    }
    if (l + 1 == r) return ;
    int mid = l + (r - l) / 2;

    if (!son[i][0]) son[i][0] = ++c, tr[c] = {0, inf};
    modify(son[i][0], l, mid, ql, qr, x);

    if (!son[i][1]) son[i][1] = ++c, tr[c] = {0, inf};
    modify(son[i][1], mid, r, ql, qr, x);
}