CF1066B 题解

CF1066B

题意

有 \(n\) 个位置，可以在某些位置放一盏灯，假设在 \(x\) 放了一盏灯，那么 \([x - r + 1, x + r - 1]\) 都可以被照亮。

所有位置都想被照亮，最少需要放多少盏灯。如果无解，输出 -1。

\(1 \le n, r \le 1000\)

思路

做法 1

我们先考虑这样一个问题，如果 \(i\) 没有被照亮，那么 \([i - r + 1, i + r - 1]\) 可以照亮它，这是很明显的。

并且，如果有很多个点可以照亮 \(i\)，肯定是选择下标最大的，这样做的话可以使得被照亮的点更多，也就是使得答案更优。

所以，就有了这样一个做法。

每次寻找第一个没有被照亮的点，枚举可以照亮当前点的所有点，取下标最大并且可以放灯的的点。

时间复杂度为 \(O(n \times r)\)。

做法 2

因为有的点可以放灯，有的不行，所以我们可以预处理出所有照亮区间。

也就是说，如果 \(i\) 可以放灯，那么就多了一个左端点为 \(i - r + 1\)，右端点为 \(i + r - 1\) 的照亮区间。

最后用所有照亮区间做一次区间覆盖即可。

区间覆盖

贪心。

令 \(last\) 为当前最后一个被照亮的点。

将所有区间按照左端点排序，每次选择左端点 小于等于\(last + 1\)，且右端点最大的区间。

因为在本题中所有区间的左端点一定是有序的，所以省掉了排序的时间复杂度。

而最多有 \(n\) 个区间，总时间复杂度为 \(O(n)\)。