CSP-J 2022

CSP-J 2022 总结

T1 乘方

思路

首先，不看数据范围，可以知道最简单的方法就是从 \(1\) 到 \(b\) 循环一遍，求出 \(a ^ b\)。

但是，现在有一个问题，\(b\) 太大了！

那该怎么办呢？

如果你仔细观察的话，就会发现题目有一个条件：如果大于 \(10 ^ 9\) 就输出 -1。

这说明了什么？

你知道 \(2 ^ {31} = 2147483648\)，是 \(\ge 10 ^ 9\) 的，而你又知道对于同一个数，它 \(\log_2\) 得到的结果肯定要大于 它 \(\log_x\) \((x > 2)\) 的，那么如果加上判断是否大于 \(10 ^ 9\) 这个条件的话，循环最多执行 \(31\) 次。

但是，这里还要考虑一个事情，如果 \(a = 1, b = 10 ^ 9\) 呢？\(1\) 的任何次方都是 \(1\)，还是会执行 \(10 ^ 9\) 次，所以需要特殊判断一下这种情况。

T2 解密

思路

70 分

首先，题目很明显告诉了我们一个公式：\(n = p \times q\)，这就说明，\(p\) 和 \(q\) 都得是 \(n\) 的因数，那么可以直接找约数，再判断是否满足条件。这样，你就拿到了宝贵的 60 分。

如果你是个爱仔细观察数据的同学，你就会发现，第 7 个数据点保证 \(q = p\)，直接特殊判断即可。

100 分

如果仔细观察数据范围的话，你会看到题目给了一个貌似没有什么用的 \(m\)，\(m = n - e \times d + 2\)。

那么，就可以考虑从 \(m\) 下手。

首先，我们知道 \(e \times d = (p - 1) \times (q - 1) + 1\)，化简后也就是 \(e \times d = pq - p - q + 1 + 1\)。

那么 \(m = n - e \times d + 2 = n - (pq - p - q + 1 + 1) + 2 = n - pq + p + q - 2 + 2\)。

而 \(n = p \times q\)，所以 \(m = n - pq + p + q - 2 + 2 = p + q\)。

紧接着，我们应该都知道 “和一定，差小积大”，也就是当和是一个定值的时候，两个数的差越小，乘积就越大。

而在这里，你又知道 \(m\) 就是 \(p\) 和 \(q\) 的和，而乘积会随着它们的差变小而越变越大，所以，你会神奇的发现，这道题有单调性！！！

那么，就可以请二分登场了。

这个事情就变得很简单了，二分 \(p\)，判断乘积是大于 \(n\) 还是小于 \(n\)，最后判断并输出即可。

其实还有一种解方程的解法，只是我不会。

T3 逻辑表达式

思路

首先，我们得知道，逻辑表达式实际上只有 2 种运算符 (&, |)，但是因为 () 的加入，使得这个运算变得更加复杂了。

所以，题目温馨的给出了没有 () 的数据，我们就先处理这种情况。

首先，我们知道 & 的运算优先级是大于 | 的，所以其实可以简单的将 | 看作 +，& 看作 *，这就对应到了洛谷上的另一道题，P1981。

其实就是用栈来模拟，当碰到 & 时，就运行栈顶的所有 | 运算符。

那么，() 到底会影响到什么呢？

我们都知道，在 () 内的所有运算，都是优先于 () 外的运算的，所以，() 影响的其实是 优先级。

那么我们就可以将 & 的优先级定为 1，| 的优先级定为 0。

而这里，有两种优先级，所以我们可以在每一层括号中，将所有运算符的优先级都加上 2，当脱离出这一层括号时，就减少 2。

所以可以用一个基础值来记录经过了多少个括号，然后对于每一个运算符，直接用基础值加上原本的运算符优先级就可以了。

那么短路次数又应该怎么计算呢？

其实也很简单，只要在每次运算的时候进行计算就可以了。

如果当前不发生短路，就直接将两个运算数带着的短路次数进行相加即可，否则，就只留下前面运算数的短路次数，并且加上这次短路即可。