abc 267 f 题解

abc 267 f

题意

给定一个有 \(N\) 个结点的树，结点分别编号为 \(1, 2, \dots, N\)，第 \(i\) 条边 \((1 \le i \le N - 1)\) 连接点 \(A_i, B_i\)。

树上的两个结点 \(u, v\) 之间的距离定义为从 \(u\) 到 \(v\) 的最短路径所经过的边的数量。

给定 \(Q\) 次询问，第 \(i\) 次询问给出 \(U_i, K_i\)，请你输出任意一个与 \(U_i\) 距离为 \(K_i\) 的点的编号。如果不存在，输出 -1。

思路

在线

首先，我们先思考这样一个问题，在什么情况下，不存在与点 \(u\) 距离为 \(k\) 的点？

当从 \(u\) 出发的最长路小于 \(k\) 时，就说明不存在这样的点。

而我们可以想到最长路这件事，就可以联想到树的直径。

令从 \(u\) 出发的最长路所到达的点为 \(v\)。

可以证明，\(v\) 肯定是某一条树的直径的某一个端点，因为有一条直径的某个端点本身就是从点 \(u\) 开始的能走到的最远的点，所以 \(v\) 一定是这个搜到的点。我们设这条直径的两个端点为 \(s, t\)。

所以，我们可以画一个这样的图：

也就是说，如果我们要求与 \(u\) 距离为 \(k\) 的点，就相当于在以 \(s\) 为根的树和以 \(t\) 为根的树上找 \(u\) 的 \(k\) 级祖先。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;

int n, q, d, id[2], fa[2][20][N];
vector<int> g[N];

void dfs(int t, int f, int dis, int p) {
  if (dis > d) {
    d = dis, id[p] = t;
  }
  if (p >= 2) {
    fa[p % 2][0][t] = f;
  }
  for (int i : g[t]) {
    if (i != f) {
      dfs(i, t, dis + 1, p);
    }
  }
}

void get_fa() {
  for (int i = 0; i < 2; i++) {
    for (int j = 1; j < 20; j++) {
      for (int k = 1; k <= n; k++) {
        fa[i][j][k] = fa[i][j - 1][fa[i][j - 1][k]];
      }
    }
  }
}

int Find(int u, int k, bool p) {
  for (int i = 0; i < 20; i++, k >>= 1) {
    if (k & 1) {
      u = fa[p][i][u];
    }
  }
  return u;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n;
  for (int i = 1, a, b; i < n; i++) {
    cin >> a >> b;
    g[a].push_back(b), g[b].push_back(a);
  }
  dfs(1, 0, 0, 0), d = 0, dfs(id[0], 0, 0, 1);
  dfs(id[0], 0, 0, 2), dfs(id[1], 0, 0, 3), get_fa();
  cin >> q;
  while (q--) {
    int u, k;
    cin >> u >> k;
    int s = max(Find(u, k, 0), Find(u, k, 1));
    cout << (!s ? -1 : s) << '\n';
  }
  return 0;
}

---

离线

我们可以把每个点 \(u\) 需要查询的每个 \(k\) 都记录下来，然后对树做一遍深搜，用栈来维护每一条树链的元素，记录每次询问的答案。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using pii = pair<int, int>;

const int N = 2e5 + 10;

int n, q, d, id[2], ans[N];
vector<int> g[N];
vector<pii> pos[N];
int top, stk[N];

void dfs(int t, int f, int dis, int p) {
  if (dis > d) {
    d = dis, id[p] = t;
  }
  for (int i : g[t]) {
    if (i != f) {
      dfs(i, t, dis + 1, p);
    }
  }
}

void _dfs(int t, int fa) {
  stk[++top] = t;
  for (int i : g[t]) {
    if (i != fa) {
      _dfs(i, t);
    }
  }
  for (auto [i, j] : pos[t]) {
    if (top > i) {
      ans[j] = stk[top - i];
    }
  }
  top--;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n;
  for (int i = 1, a, b; i < n; i++) {
    cin >> a >> b;
    g[a].push_back(b), g[b].push_back(a);
  }
  dfs(1, 0, 0, 0), d = 0, dfs(id[0], 0, 0, 1);
  cin >> q;
  for (int i = 1, u, k; i <= q; i++) {
    cin >> u >> k, ans[i] = -1;
    pos[u].push_back({k, i});
  }
  _dfs(id[0], 0), _dfs(id[1], 1);
  for (int i = 1; i <= q; i++) {
    cout << ans[i] << '\n';
  }
  return 0;
}