CF1066D 题解

CF1066D

题意

有 \(n\) 个物品和 \(m\) 个盒子，每个盒子最开始都是空的，大小为 \(k\)。物品依次编号为 \(1, 2 \dots n\)，第 \(i\) 件物品的大小为 \(a_i\)。

现在需要把物品装进盒子里，做以下操作：取出一个空盒子，从左到右遍历物品，如果第 \(i\) 件物品可以放进当前盒子，就放进去，盒子大小减少 \(a_i\)，否则，重复这个操作。

现在像打包尽可能多的物品，为了达到目标，可以丢弃最左边的一些物品。

请你求出最多可以装多少个物品。

思路

首先，这个题目有一个很重要的点：读清楚题目！！！

其实可以抽象成这样一个模型：将一个序列分成若干段，每一段的和要小于等于 \(k\)，并且尽可能使得分出来的段数最小。

那么，假设丢弃了前 \(x\) 个物品，且剩下的物品可以放在 \(m\) 个盒子里，那么说明丢弃前 \(x + 1\) 个物品，剩下的物品也可以放在 \(m\) 个盒子里。

所以，这道题具有 单调性，可以二分，时间复杂度为 \(O(n \times \log n)\)。

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但是，这道题目有没有时间复杂度更优的做法呢？当然有，贪心。

因为要丢弃的是一段前缀，那么我们能不能考虑倒着做呢？

既然要考虑倒着做，那么我们就得先证明出正着做和倒着做所得到的分段数是一样的。

假设序列的某一个后缀正着做的答案为 \(ans1\)，倒着做的答案为 \(ans2\)。

1. 先正着做，得到的答案为 \(ans1\)，而再倒过来做不会使得原先的分界线向左移动，所以 \(ans2 \le ans1\)。
2. 先倒着做，得到的答案为 \(ans2\)，而再正过来做不会使得原先的分界线向右移动，所以 \(ans1 \le ans2\)。

所以，\(ans1 = ans2\)。