abc 230 e 题解

abc 230 e

题意

给定正整数 \(N\)，请计算 \(\sum \limits _ {i = 1} ^ N [\frac{N}{i}]\)。

\(1 \le N \le 10 ^ {12}\)

思路

首先，这个题目有一个很明显的暴力：枚举每一个 \(i\)，求和。

但是，很明显，时间复杂度为 \(O(N)\)，会超时。

所以，应该怎么优化时间复杂度呢？

根号分治

将题目所求的和分成两个部分。

1. 如果 \(i \le \sqrt {N}\)，则直接暴力求解。

2. 如果 \(i > \sqrt {N}\)，则说明 \(\frac{N}{i} < \sqrt{N}\)，可以枚举 \(\frac{N}{i}\)，求有多少个对应的 \(i\)。

   那么，要怎么计算有多少个对应的 \(i\) 呢？

   我们令 \(k = [\frac{N}{i}]\)，则 \(k \le \frac{N}{i} < k + 1\)，所以 \(\frac{N}{k + 1} < i \le \frac{N}{k}\)。

   既然得到了 \(i\) 的范围，那么 \(i\) 的数量就很容易求了。

   注意：第一步和第二步很有可能会将某些答案重复计算，要注意循环范围。

整除分块

令 \([\frac{N}{i}] = k\) 时对应的 \(i\) 的范围在 \(l \sim r\) 之间，则 \(r = [\frac{N}{[\frac{N}{i}]}]\)。

这里也很简单，在上面，我们说 \(\frac{N}{k + 1} < i \le \frac{N}{k}\)，而 \(k\) 就是 \([\frac{N}{i}]\)，所以可以得到 \(r\) 的取值。

而因为所有 \(k\) 一定都是连续一段出现的，所以上一个 \(k\) 出现的最后一个 \(i\) 的位置 \(+ 1\) 就是现在的 \(l\)。

所以，最终，两种方法的总时间复杂度均为 \(O(\sqrt{N})\)。