2023.3.3 题解

G - Rook Path

题意

有一个 \(n \times m\) 的矩阵，一开始有个物品放在 \((x_1, y_1)\) 上。

有 \(k\) 次操作，每次操作可以将这个物品移动到同一行或者同一列的另一个格子上。

请你求出在 \(k\) 次操作后，使得这个物品到达 \((x_2, y_2)\) 的方法有多少种，对 998244353 取模。

思路

首先，这道题我们先考虑暴力。

\(dp_{x, y, k}\) 表示走 \(k\) 步到格子 \((x, y)\) 的方案数。

那么就有转移：

\[dp_{x, y, k} = \sum _ {x' = x, y' \ne y} dp_{x', y', k - 1} + \sum _ {x' \ne x, y' = y} dp_{x', y', k - 1} \]

所以，状态总数为 \(n \times m \times k\)，每次有 \(n + m\) 种转移，总时间复杂度为 \(O(n \times m \times k \times (n + m))\)，也就是 \(10 ^ {33}\)，很明显会超时。

通过打表输出 dp 数组，我们可以发现，整个矩阵最后的结果一共可以分为四种：

1. 起点

2. 和起点同行的点

3. 和起点同列的点

4. 和起点不同行也不同列的点

所以，\(dp_{k, 0}\) 表示用 \(k\) 步走到起点的方案数，\(dp_{k, 1}\) 表示用 \(k\) 步走到与起点同行的其他的点的方案数，\(dp_{k, 2}\) 表示用 \(k\) 步走到与起点同列的其他的点的方案数，\(dp_{k, 3}\) 表述用 \(k\) 步走到和起点不同行也不同列的点的方案数。

那么，转移是什么呢？

我们可以画一个图来看一看。

\[dp_{k, 0} = dp_{k - 1, 1} \times (m - 1) + dp_{k - 1, 2} \times (n - 1) \]

\[dp_{k, 1} = dp_{k - 1, 0} + dp_{k - 1, 1} \times (m - 2) + dp_{k - 1, 3} \times (n - 1) \]

\[dp_{k, 2} = dp_{k - 1, 0} + dp_{k - 1, 2} \times (n - 2) + dp_{k - 1, 3} \times (m - 1) \]

\[dp_{k, 3} = dp_{k - 1, 1} + dp_{k - 1, 2} + dp_{k - 1, 3} \times (n + m - 4) \]

所以，时间复杂度为 \(O(k)\)。

H - 对称二叉树

题意

如果一颗有点权的树满足以下条件，那么它就是一颗对称二叉树：

1. 二叉树

2. 将这棵树所有节点的左右子树交换，新树和原树对应位置的结构相同且点权相等

现在给出一棵二叉树和每个点的点权 \(v_i\)，希望你找出它的一棵子树，该子树为对称二叉树，且节点数最多。请输出这棵子树的节点数。

注意：只有树根的树也是对称二叉树。

思路

首先，我们先想一想，要怎么判断一棵树是否为对称二叉树。

很明显，这个题目的判断部分是一个分治结构。

Check(i, j) 表示判断以 i 为根的子树是否与以 j 为根的子树的结构以及点权是否相等。

所以 Check(i, j) = Check(l[i], r[j]) && Check(r[i], l[j])

然后直接一边 dfs，一边 Check 就可以了。

I - 加分二叉树

题意

对于一颗树上的任意一颗子树来说，它的加分是 它的左子树的加分 \(\times\) 它的右子树的加分 + 它的分数。

如果子树为空，加分为 1。

试求一棵符合中序遍历为 \((1,2,3,\ldots,n)\) 且加分最高的二叉树 \(\text{tree}\)。要求输出

1. \(\text{tree}\) 的最高加分。

2. \(\text{tree}\) 的前序遍历。

思路

首先，因为题目规定了中序遍历，而中序遍历的遍历方式是 左根右，所以可以看出，这是一个分治结构：

F(l, r) 表示中序遍历为 l ... r 的子树的最大加分

所以就有转移 F(l, r) = max(F(l, i - 1) + a[i] + F(i + 1, r))，其中 i 为当前这个子树的根。

也就是枚举每一个根，取所有取值的最大值，再计算答案。

但是，应该怎么输出前序遍历呢？

很简单，因为前序遍历的遍历方式是 根左右，所以可以用 root[l][r] 表示 l ... r 的子树的根，再做一次递归即可。