软光栅从零开始——Bresenham’s Line

Bresenham算法介绍

​ 画线算法有三种，分别是DDA算法、中点算法、Bresenham算法，但为什么我们选择Bresenham算法呢？因为Bresenham算法仅仅使用整数加法、减法和位移，是一种增量误差算法，这些操作省时高效精确，是当前最有效的画线算法。并且，此算法并不局限于直线，圆等其他曲线同样可以画。更重要的是，该算法用于绘图仪等硬件和现代显卡的图形芯片中，以及非常多的软件图形库中都可以看到他的身影。鉴于Bresenham算法的简单高效，因此我们选用他作为实现渲染器的一部分

Bresenham算法思想

​ 在图形学中，屏幕是一个二维数组，数组里的每一个元素都为一个像素,其中每个像素都必须是整数

​ Bresenham算法是设定一个起点，一个终点，按照起点到终点的顺序，计算直线和垂直网格线的交点，再根据误差项error变量来确定该列两像素点中离此交点最近的那个。也就是说，假设一点(x,y)，若交点并不是在像素点上，那么就会从(x + 1, y)和(x+1, y+1)中去选择一个最合适的点，那么怎么才是最合适的呢？很简单，我们取两点之间的中点，若这个交点在中点上面，则选取(x+1, y+1)；若交点在中点下面，则选取(x+1,y)

Bresenham算法实现

​ 我们假设每次x增加1，y增量为0或1,k为斜率;鉴于每次都需要计算中点且中点是浮点数，过于麻烦，因此我们将误差量设为d = 0,d = d + k( 0 < k < 1 ）；每当d > 0.5，则d -= 1,y+1

​ 实现如下：

void line(int x0, int y0, int x1, int y1, TGAImage &image, TGAColor color) { 
    bool steep = false; 
    //dy需要小于dx，否则画出的线不够密集，有空隙
    if (std::abs(x0-x1)<std::abs(y0-y1)) { 
        std::swap(x0, y0); 
        std::swap(x1, y1); 
        steep = true; 
    } 
    
    //因为后面的for循环是从x0递增到x1，所以这里必须保证x0小于x1
    if (x0>x1) { 
        std::swap(x0, x1); 
        std::swap(y0, y1); 
    } 
    
    int dx = x1-x0; 
    int dy = y1-y0; 
    //误差值
    float derror = std::abs(dy/float(dx)); 
    float error = 0.0; 
    int y = y0; 
    for (int x=x0; x<=x1; x++) { 
        if (steep) { 
            image.set(y, x, color); 
        } else { 
            image.set(x, y, color); 
        } 
        
        error += derror; 
        if (error > 0.5) { 
            y += ( y1 > y0 ? 1 : -1 ); 
            error -= 1.0; 
        } 
    } 
} 

​ 优化 上面的方法其实已经可以实现画线了，但这并不是Bresenham算法的灵魂，它精彩的地方在于仅仅使用整数加减。想想上面这段代码还有什么地方可以优化的？

​ 我们发现 float derror = std::abs(dy/float(dx))和if (error > 0.5)都包含浮点数，Bresenham算法的精髓并没有体现，那么怎么做呢？

​ 我们可以做一种尝试，让初始值e\(0\) = d - 0.5, e = e + k;每当e大于0，e -= 1;但我们会发现还是稍有不足，e、k依旧为浮点数,我们需要想办法消除e、k，怎么做呢？

​ 下面，我们来做另一种尝试。定义一个E = e * 2 * dx代替e,如此e的浮点数0.5即可消除;每走一步有E = (e + k) * 2 * dx = E + 2 * dy，也就是说每次E增加2dy;每当e大于0,E = (e-1) * 2 * dx = E - 2 * dx

​ 代码如下：

void line(int x0, int y0, int x1, int y1, TGAImage &image, TGAColor color) { 
    bool steep = false; 
    if (std::abs(x0-x1)<std::abs(y0-y1)) { 
        std::swap(x0, y0); 
        std::swap(x1, y1); 
        steep = true; 
    } 
    if (x0>x1) { 
        std::swap(x0, x1); 
        std::swap(y0, y1); 
    } 
    int dx = x1-x0; 
    int dy = y1-y0; 
    int derror2 = std::abs(dy)*2; 
    int error2 = 0; 
    int y = y0; 
    for (int x=x0; x<=x1; x++) { 
        if (steep) { 
            image.set(y, x, color); 
        } else { 
            image.set(x, y, color); 
        } 
        error2 += derror2; 
        if (error2 > dx) { 
            y += (y1>y0?1:-1); 
            error2 -= dx*2; 
        } 
    } 
} 

​ 此时，我们才真正实现了Bresenham算法,加减都是整数简单高效！

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