codeforces 2200左右dp题目练习

栾巨的dp题单，刷完~~他要v我500~~可以提升dp水平。

1. CF296B Yaroslav and Two Strings

白给题，令 \(f_{i,0/1,0/1}\) 表示前 \(i\) 位，有无小于，有无大于，根据每位的字符转移即可。

2. CF229D Towers

考虑设 \(f_i\) 表示前 \(i\) 个塔段数最多的划分，我们可以发现这个划分中最后一个数比其他划分都小，那么直接用 \(g_i\) 记录出最小值，然后可以直接 \(O(n)\) 转移，总共是 \(O(n^2)\) 的。

3. CF223B Two Strings

先正着倒着跑一遍匹配，对于 \(t\) 中的每个字符就可以搞出其最早/最晚在 \(s\) 中出现的位置，那么对于 \(s\) 中的 \(s_i\)，只要存在一个 \(j\) 使得 \(t_j=s_i\) 并且 \(t_{j-1} \text{最早的位置} \le i \le t_{j+1} \text{最晚的位置}\) 就可以了，换句话说，在这个范围内的字符 \(s_i\) 都是合法的，那么我们考虑可以对每个字符单独考虑，for t 的所有位置，然后区间减一，最后判有没有位置大于 \(0\) 就行了。
这是 dp？

4. CF82D Two out of Three

考虑到状态是后缀加上一个数，直接转移就行。

5. CF855C Helga Hufflepuff's Cup

\(f_{u,0/1/2}\) 表示以 \(u\) 为根的子树中，\(u\) 的颜色是小于/等于/大于 \(k\) 时的方案数。
转移树上背包即可。

7. CF427D Match & Catch

枚举 LCP 长度跑哈希，但是 CF 有点抽象，整了一堆逆天数据，但是可以发现如果枚举比较大的话一般都是无解的，加上一个 if ((double)clock() / CLOCKS_PER_SEC > 0.95) 之类的就过了。

8. CF222E Decoding Genome

显然的一个 dp 是说考虑 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 位，且第 \(i\) 位的字符是 \(j\) 的方案数，考虑到每次转移相当于给 \(f_i\) 这个列向量左乘上一个矩阵，直接矩阵快速幂即可。
矩阵具体来说的构造是，如果存在限制 xy，那么 \(a_{y,x}=0\) 剩下位置是 \(1\)。

9. CF533B Work Group

树形dp，\(f_{u,0/1}\) 表示 \(u\) 为根，\(u\) 的子树中选了偶数/奇数个点的情况；
转移就当作一个 size 在 mod 2 意义下的树形背包就行，时间复杂度 \(O(n)\)。

10. CF893E Counting Arrays

两个做法

一个大力 dp，\(f_{i,j}\) 处理出 \(i\) 个非 \(1\) 数乘起来是 \(j\) 的方案数，这个是 \(O(n\log^2n)\) 的。
每次询问的时候枚举出来选了 \(i\) 个非 \(1\) 数，贡献就是 \(f_{i,m}*\binom{n}{i}\)，最后乘一个 \(2^{n-1}\)。
考虑对 \(m\) 质因数分解后对每个质因子分配，每个都是插板算贡献，最后乘 \(2^{n-1}\)。

11. CF1201D Treasure Hunting

考虑到每行结束后一定位于最左边或者最右边，转移二分出最近的上升列大力分类讨论。
细节比较多。

12. CF797E Array Queries

对于 \(k<=B\)，预处理 \(f_{p,k}\) 表示当询问 \(p,k\) 时的答案，预处理时间复杂度 \(O(nB)\)；
对于 \(k>B\) 暴力，单次询问时间复杂度 \(O(\frac{n}{B})\)。
取 \(B=\sqrt{n}\)，时间复杂度为 \(O((n+q)\sqrt{n})\)。
这是 dp？

13. CF1067A Array Without Local Maximums

设 \(dp(i,j,0/1)\) 表示前 \(i\) 个数，\(a_i=j\)，第 \(i-1\) 个数大 \(\ge a_i\) 还是 \(< a_i\) 的方案数。转移前后缀和优化即可，时间复杂度 \(O(nV)\)。

14. CF9D How many trees?

注意到 \(>=h\) 的限制比较困难，考虑转化成总数 \(-\) 高度 \(<h\) 的二叉树个数。
设 \(dp(i,j)\) 表示 \(i\) 个点，高度 \(\le j\) 的二叉树个数。
转移枚举左右子数的点数 \(dp(i,j)=\sum_{l+r=i-1}dp(l,j-1)dp(r,j-1)\)，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

15. CF633D Fibonacci-ish

暴力枚举 \(f_0,f_1\) 即可，注意加入一些剪枝，例如相同对子只算一次。
这是 dp？

16. CF1082E Increasing Frequency

用 \(f(i,v)\) 表示 \([1,i]\) 中 \(v\) 的出现次数。
不妨设 \([l,r]\) 区间把 \(a_r\) 调整成 \(c\) (否则可以减小 \(r\))，那么就是要最大化 \(f(l-1,c)+f(n,c)-f(r,c)+f(r,a_r)-f(l-1,a_r)\)。
枚举 \(r\)，只要最大化 \(f(l-1,c)-f(l-1,a_r)\)，令 \(g(v)=\max_{0\le i\le r-1}\{f(i,c)-f(i,v)\}\)，所求即 \(g(a_r)\)，问题转化成维护 \(g\)。
由于 \(g(v)\) 的最优决策点一定可以是某个 \(v\) 的前一个，因此可以只在 \(v\) 出现的时候更新 \(g(v)\)。也就是每次只用 \(f(r-1,c)-f(r-1,a_r)\) 更新 \(g(a_r)\) 即可。
时间复杂度 \(O(n+V)\)。