mysql---金丹篇（一）---数据结构之二叉树

 1、问答

1、红黑树了解么，时间复杂度?

 

2、什么是B+树素引?为什么使用B+树？BTree机制说一下？B+tree 如何进行优化？二叉树的转置是什么？

MySQL索引类型有？如何管理 MySQL索引？什么是索引？什么是索引覆盖？什么是聚簇索引?什么是非聚簇索引?对比一下B+树索引和 Hash索引？什么是联合索引?

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2、树的演进过程

基本概念

双亲—— 孩子结点的上层结点叫该结点的双亲
兄弟—— 同一双亲的孩子之间互成为兄弟
祖先—— 结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点
子孙—— 以某结点为根的子树中的任一结点都成为该结点的子孙
结点的层次—— 从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层……
堂兄弟—— 其双亲在同一层的结点互称为堂兄弟。
有序树—— 如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。
森林—— m(m>0)棵互不相交的树的集合

2.1 树

树是互不相交的n个节点(n>=0)有限集.

n=0时称为空树.

n=1时仅有一个根节点。

当n>1时，其余结点可分为个互不相交的有限集（T1、T2、......、Tn），其中每一个集合又是一棵树，并且称为根的子树。子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的

树的度：结点拥有的子树数目或最大分支数称为结点的度。如图A节点有b、c2个子树，她的度为2，J节点没有子树，它的度为0。

数的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推，如图。

树的深度：树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。如图所示树的深度为4。

叶子结点：度为0的结点，即没有子节点。如GHIJ都是叶子节点。

内部结点：也叫中间节点，除去根节点和叶子节点的其它节点。

2.2 二叉树

二叉树即每个结点都最多只有两个子结点的树。

二叉树有以下特点：

1）每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树

二叉树性质

1）在二叉树的第i层上最多有2^i-1 个节点 。（i>=1）
2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2^k-1个节点。(k>=1）
3）n₀=n₂+1， n₀表示度数为0的节点数，n₂表示度数为2的节点数。
4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log₂n]+1，其中[log₂n]是向下取整。
5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中

2.2.1 普通二叉树

2.2.2  斜树

所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

                                                    

2.2.3 完全二叉树

若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1层) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

   

 如图，第一幅图，1~2层每层都达到了最大节点数。第二幅图，第一层有1个节点，第二层有2个节点，第三层有4个节点，都达到了最大节点数。

2.2.3 满二叉树

美国以及国际上所定义的满二叉树，即full binary tree,和国内的定义不同

国际定义的满二叉树：除叶子节点外，每个结点都有左右子结点的二叉树。即树的结点要么是度为0的叶子结点，要么是度为2的结点，不存在度为1的结点。

国内定义的满二叉树：高度为h，由2^h-1个节点构成的二叉树称为满二叉树。即根节点左右子节点层级相同，除了最后一层外，其它各层节点度都为2.

   国际定义的满二叉树                                                    国内定义的满二叉树：

                       

2.2.4 二叉查找树

二叉排序树（Binary Sort Tree），又称二叉查找树（Binary Search Tree），也称为有序二叉查找树，它是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

（4）没有键值相等的结点。

如果以6为根节点，依次插入6、3、7、8、2、5，它的机构如下

按照中序遍历的方式可以从小到大的顺序排序输出：2、3、5、6、7、8，下面演示使用2种查找方式查找数值为8的数

顺序查找：先找到2，不是8；再找到3，不是8；...直到按顺序找到8，共找了6次。所有数都按顺序查找的平均查找次数为（1+2+3+4+5+6）/ 6 = 3.3次。

二叉树进行查找：先找到根，其键值是6，6小于8，因此查找6的右子树；找到7；而7小于8；再找其右子树，直到找到8；一共找了3次。二叉查找树的平均查找次数为（3+3+3+2+2+1）/6=2.3次。

由此可见：二叉查找树的平均查找速度比顺序查找来得更快。

但是随着节点的添加和删除，二叉查找树会退化为线性树。

例如：如果根节点选择是最小或者最大的数，如根节点是2，数字以2、3、5、6、7、8顺序插入，按二叉查找树排序，就完全退化成了线性结构

平均查找次数为（1+2+3+4+5+6）/6=3.3次，和顺序查找差不多,一颗二叉查找树的优势完全丧失了.

若想最大性能的构造一个二叉查找树，需要这个二叉树是平衡的，从而引出了一个新的定义-平衡二叉树AVL。

二叉树的应用场景：
普通的二叉树，很难构成现实的应用场景，但因其简单，常用于学习研究，平衡二叉树则是实际应用比较多的。常见于快速匹配、搜索等方面。
常用的树有：AVL树、红黑树、B+树、Trie（字典）树。
1、AVL树: 最早的平衡二叉树之一。应用相对其他数据结构比较少。windows对进程地址空间的管理用到了AVL树。
2、红黑树: 平衡二叉树，广泛用在C++的STL中。如map和set都是用红黑树实现的。还有Linux文件管理。
3、B/B+树: 用在磁盘文件组织 数据索引和数据库索引。
4、Trie树(字典树): 用在统计和排序大量字符串，如自动机、M数据库索引

2.2.5 平衡二叉树

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），是一种高度平衡二叉树。

具有以下性质：

它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

它是严格的平衡二叉树，平衡条件必须满足（所有节点的左右子树高度差不超过1），不管我们是执行插入还是删除操作，只要不满足上面的条件，就要通过旋转来保持平衡，而旋转是非常耗时的，由此我们可以知道AVL树适合用于插入删除次数比较少，但查找多的情况。 

注意：在大量查找的情况下，平衡二叉树的效率更高，也是首要选择。在大量增删的情况下，红黑树是首选。

在插入的情况下平衡二叉树需要维持高度平衡，这也就意味着在大量插入和删除节点的场景下，需要调整的频率会更高

删除时，对于平衡二叉树来说，最坏情况下，需要维护从被删节点到根节点这条路径上所有节点的平衡性，旋转的量级是O(logN)。但是红黑树就不一样了，最多只需3次旋转就会重新平衡，旋转的量级是O(1)。

应用

Windows NT内核中广泛存在

2.2.6 红黑树

它是一种自平衡二叉查找树，也叫弱平衡二叉树，相对于要求严格的AVL树来说，它的旋转次数变少，所以对于搜索、插入、删除操作多的情况下，我们就用红黑树。

在二叉查找树基础上，添加以下性质

1.节点是红色或黑色。
2.根节点是黑色。
3.每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL节点）。
4 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)（新插入节点，刚开始都是红色）
5.从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

正式因为有了这些规则限制，才保证了红黑树的自平衡

时间复杂度为O（lgn），如图

当插入或删除的时候，红黑树规则可能被打破。什么情况下会破坏红黑树的规则，什么情况下不会破坏规则呢？

     向原红黑树插入值为14的新节点，没破坏规则：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　向原红黑树插入值为21的新节点，破坏了规则4(红色节点的子节点都是黑色)

   

必须进行调整，使之重新符合红黑树的规则，调整有2种方法

• 变色
• 旋转：左旋转和右旋转

变色：使用变色方法进行调整流程，如图

　step1：把22变为黑色，凭空多出的黑色节点打破了规则5    　　　　step2:继续把节点25从黑色变成红色,发生连锁反应  　　　　　　　　 step3:继续把红色节点27变为黑色

                      

左旋转：逆时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子。

如图：身为右孩子的Y取代了X的位置，而X变成了自己的左孩子。此为左旋转

右旋转：顺时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的左孩子取代，而自己成为自己的右孩子。

如图：身为左孩子的Y取代了X的位置，而X变成了自己的右孩子。此为右旋转

下面我们以刚才插入节点21的情况为例，演示是使用变色还是旋转。

先使用变色，把节点25及其下方的节点变色，

此时节点17和节点25是连续的两个红色节点，那么把节点17变成黑色节点？这样一来不但打破了规则4，而且根据规则2（根节点是黑色），也不可能把节点13变成红色节点。

变色已无法解决问题，我们把节点13看做X，把节点17看做Y，像刚才的示意图那样进行左旋转：

     

由于根节点必须是黑色节点，所以需要变色，变色结果如下：

 

此时路径(17 -> 8 -> 6 -> NIL)的黑色节点个数是4，其他路径的黑色节点个数是3，不符合规则5。这时候我们需要把节点13看做X，节点8看做Y，像刚才的示意图那样进行右旋转

                    

 最后根据规则来进行变色：

 

如此一来，我们的红黑树变得重新符合规则。这一个例子的调整过程比较复杂，经历了如下步骤：变色 -> 左旋转 -> 变色 -> 右旋转 -> 变色

应用

1、广泛用于C++的STL中，Map和Set都是用红黑树实现的； 
2、著名的Linux进程调度Completely Fair Scheduler，用红黑树管理进程控制块，进程的虚拟内存区域都存储在一颗红黑树上，每个虚拟地址区域都对应红黑树的一个节点，左指针指向相邻的地址虚拟存储区域，右指针指向相邻的高地址虚拟地址空间； 
3、IO多路复用epoll的实现采用红黑树组织管理sockfd，以支持快速的增删改查； 
4、Nginx中用红黑树管理timer，因为红黑树是有序的，可以很快的得到距离当前最小的定时器； 
5、Java中TreeMap的实现；

2.2 二叉树遍历

前序遍历（前根遍历）：根——>左——>右

中序遍历（中根遍历）：左——>根——>右

后序遍历（后根遍历）：左——>右——>根

层次遍历：层次从上到下，每层从左到右

前序遍历

先序遍历：（1）访问根节点；（2）先序递归遍历左子树；（3）先序递归遍历右子树；

先序遍历结果：A BDFE CGHI

中序遍历

中序遍历：（1）中序遍历左子树；（2）访问根节点；（3）中序遍历右子树

中序遍历结果：DBEF    A    GHCI

后序遍历

后序遍历：（1）后序递归遍历左子树；（2）后序递归遍历右子树；（3）访问根节点；

后序遍历的结果：DEFB  HGIC   A

层序遍历

从树的第一层，也就是根节点开始访问，从上到下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序结点逐个访问。

 

2.3 二叉树村存储结构

2.3.1 顺序存储

二叉树的顺序存储，就是用一组连续的存储单元存放二叉树中的结点。因此，必须把二叉树的所有结点安排成为一个恰当的序列，用编号的方法从树根起，自上层至下层，每层自左至右地给所有结点编号,缺点是有可能对存储空间造成极大的浪费，在最坏的情况下，一个深度为k且只有k个结点的右单支树需要2k-1个结点存储空间。

依据二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地反映出结点之间的逻辑关系，这样既能够最大可能地节省存储空间，又可以利用数组元素的下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。

存储在数组中

 最差的情况如下，线性结构的二叉树，对存储空间造成了极大的浪费

 其中，∧表示数组中此位置没有存储结点

2.3.2 链式存储结构

由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此，可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域，这种链表叫做二叉链表，如图

节点代码

typedef struct BiTNode{
    TElemType data;//数据
    struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;

为了方便访问某结点的双亲，还可以给链表结点增加一个双亲字段parent,用来指向其双亲结点。每个结点由四个域组成，其结点结构为：

这种存储结构既便于查找孩子结点，又便于查找双亲结点；但是，相对于二叉链表存储结构而言，它增加了空间开销。利用这样的结点结构表示的二叉树的链式存储结构被称为三叉链表。

 

节点代码

#define datatype char  //定义二叉树元素的数据类型为字符
typedef struct  node {  //定义结点由数据域，左右指针组成
     Datatype data;
     struct node *lchild,*rchild，*parent;
 }Bitree;

3、时间复杂度的规则与计算 

最优时间复杂度:算法完成工作最少需要多少基本操作.其反映的只是最乐观最理想的情况，没有参考价值.

最坏时间复杂度:算法完成工作最多需要多少基本操作.提供了一种保证，表明算法在此种程度的基本操作中一定能完成工作

平均时间复杂度 :算法完成工作平均需要多少基本操作.是对算法的一个全面评价，因此它完整全面的反映了这个算法的性质

时间复杂度的几条基本计算规则
基本操作，即只有常数项，认为其时间复杂度为O(1)
顺序结构，时间复杂度按加法进行计算
循环结构，时间复杂度按乘法进行计算
分支结构，时间复杂度取最大值
判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略
在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

常见时间复杂度

执行次数函数举例	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
3n2+2n+1	O(n2)	平方阶
5log2n+20	O(logn)	对数阶
2n+3nlog2n+19	O(nlogn)	nlogn阶
6n3+2n2+3n+4	O(n3)	立方阶
2n	O(2n)	指数阶

 

 

 

注意，经常将log2n（以2为底的对数）简写成logn。lne2（以e为底的对数）写成ln2

所消耗的时间从小到大

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(nn

 

 

参考文档：

B-Tree，B+Tree以及mysql索引的实现

https://blog.csdn.net/sinat_36722750/article/details/82946311

MySQL系列-B+Tree索引详解

https://blog.csdn.net/UFO___/article/details/80522453

MySQL系列-系统架构及存储引擎介绍

https://blog.csdn.net/UFO___/article/details/80519309

B树和B+树数据结构及使用场景

https://blog.csdn.net/qq_38238296/article/details/88362635

B+Tree原理及mysql的索引分析

https://www.cnblogs.com/xiaoxi/p/6894610.html

B树B-树和B+树的总结

https://open.toutiao.com/a6769472742832996877/?utm_medium=webview&vivo_news_comment_data=%7B%7D&vivo_news_source=1&vivo_news_comment_data_checksum=99914b932bd37a50b983c5e7c90ae93b&isNews=1&showOriginalComments=true&req_id=2019121407544801001401904422B9180D&crypt=5587&item_id=6769472742832996877&showComments=0&gy=2a8d3612778e2cf097372a2c3a21dbad1b3466d040348083237cf2e45b94fdae358665bc74c6eb1485e5ed19d06eb230ef07bc4c534673942907ea174cb240234e97a27571915331963ea79749950d97008d4d721550dcf23dd5b9d8078da4e95ac249bc39c77ad5b9ec78d61e6be56d4c671cd609e027502ed387b925fb8e55280e2d9ecd4449ba09ed1e322d0431d6&a_t=31158380437568786751332dce1&label=vivo_llq_channel&utm_source=vivoliulanqi&utm_campaign=open&dt=vivo%20X9

看了这么多篇红黑树文章，你都理解了嘛？

https://open.toutiao.com/a6739678098108711432/?utm_medium=webview&vivo_news_comment_data=%7B%7D&vivo_news_source=1&vivo_news_comment_data_checksum=99914b932bd37a50b983c5e7c90ae93b&isNews=1&showOriginalComments=true&req_id=2019121408465801001206109423C40CD0&crypt=5268&item_id=6739678098108711432&showComments=0&gy=3006ce77496da435474b365b461bf44c6208c62d614f95dfaef6027f46771e10eba35c9791f6b165a2dc39bfd342c647436bc06dd9513d69ece08f40c907ce161262e9bafa1d98434c5aa5fb5799521e201f63d8000ed340474acf3a8bed77b9c85df43c567c0bf5f6a9efd562042978098f5354fb346ccaecd4e890624fa4580b151f42488829a33af707fadfdbd5fe&a_t=31158380437568786751332dce1&label=vivo_llq_channel&utm_source=vivoliulanqi&utm_campaign=open&dt=vivo%20X9

什么是红黑树？（画图讲解，比较容易理解）

https://blog.csdn.net/qq_36610462/article/details/83277524

复杂度分析（大O表示法）

https://blog.csdn.net/weixin_42313246/article/details/108315179