大话数据结构笔记
数据结构
数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
逻辑结构：集合结构，线性结构，树形结构，图形结构。
物理结构：顺序存储结构，链式存储结构。
定义
集合结构：集合结构中的数据元素除了同属于一个集合外，它们之间没有其他关系。各个数据元素是“平等”的，它们的共同属性是“同属于一个集合”。数据结构中的集合关系就类似于数学中的集合。
线性结构：线性结构中的数据元素之间是一对一的关系。
树形结构：树形结构中的数据元素之间存在一种一对多的层次关系。
图形结构：图形结构的数据元素是多对多的关系。
顺序存储结构：是把数据元素存放在地址连续的存储单元里，其数据间的逻辑关系和物理关系是一致的。
链式存储结构：是把数据元素存放在任意的存储单元里，这组存储单元可以是连续的，也可以是不连续的。数据元素的存储关系并不能反映其逻辑关系，因此需要用一个指针存放数据元素的地址，这样通过地址就可以找到相关联数据元素的位置。
数据类型：是指一组性质相同的值的集合及定义在此集合上的一些操作的总称。
抽象数据类型（Abstract Data Type，ADT）：是指一个数学模型及定义在该模型上的一组操作。抽象数据类型的定义仅取决于它的一组逻辑特性，而与其在计算机内部如何表示和实现无关。
算法
定义
算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。
算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。
健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。
平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。
时间复杂度
| 执行次数 | 函数阶 | 非正式术语 |
|---|---|---|
| (12) | $O(1)$ | 常数阶 |
| (2n+3) | $O(n)$ | 线性阶 |
| (3n^2+2n+1) | $O(n^2)$ | 平方阶 |
| (5log_2n+20) | $O(logn)$ | 对数阶 |
| (2n+3nlog_2n+19) | $O(nlogn)$ | nlogn阶 |
| (6n3+2n2+3n+4) | $O(n^3)$ | 立方阶 |
| (2^n) | $O(2^n)$ | 指数阶 |
我们在写代码时，完全可以用空间来换取时间。
总结
我们这一章主要谈了算法的一些基本概念。谈到了数据结构与算法的关系是相互依赖不可分割的。
算法的定义：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。
算法的特性：有穷性、确定性、可行性、输入、输出。
算法的设计的要求：正确性、可读性、健壮性、高效率和低存储量需求。
算法特性与算法设计容易混，需要对比记忆。
算法的度量方法：事后统计方法（不科学、不准确）、事前分析估算方法。
在讲解如何用事前分析估算方法之前，我们先给出了函数渐近增长的定义。
函数的渐近增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。于是我们可以得出一个结论，判断一个算法好不好，我们只通过少量的数据是不能做出准确判断的，如果我们可以对比算法的关键执行次数函数的渐近增长性，基本就可以分析出：某个算法，随着n的变大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。
然后给出了算法时间复杂度的定义和推导大O阶的步骤。
推导大O阶：
用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。
通过这个步骤，我们可以在得到算法的运行次数表达式后，很快得到它的时间复杂度，即大O阶。同时我也提醒了大家，其实推导大O阶很容易，但如何得到运行次数的表达式却是需要数学功底的。
接着我们给出了常见的时间复杂度所耗时间的大小排列：
$O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(nn)$
最后，我们给出了关于算法最坏情况和平均情况的概念，以及空间复杂度的概念。
线性表
定义
线性表的顺序存储结构，指的是用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。即物理地址连续。
$a_1$,$a_2$,$a_3$,$a_4$$...$
数组需要三个属性：
存储空间的起始位置：数组data，它的存储位置就是存储空间的存储位置。
线性表的最大存储容量：数组长度MaxSize。
线性表的当前长度：length。
读取
数组取址方式<逻辑地址，所以从1开始>：
$a_n=a_1+(n-1)*c$
它的存取时间性能为$O(1)$。我们通常把具有这一特点的存储结构称为随机存取结构。
插入与删除
插入算法的思路：
如果插入位置不合理，抛出异常；
如果线性表长度大于等于数组长度，则抛出异常或动态增加容量；
从最后一个元素开始向前遍历到第i个位置，分别将它们都向后移动一个位置；
将要插入元素填入位置i处； ?表长加1。
删除算法的思路：
如果删除位置不合理，抛出异常；
取出删除元素；
从删除元素位置开始遍历到最后一个元素位置，分别将它们都向前移动一个位置；
表长减1。
线性表的顺序存储结构，在存、读数据时，不管是哪个位置，时间复杂度都是$O(1)$；而插入或删除时，时间复杂度都是$O(n)$。这就说明，它比较适合元素个数不太变化，而更多是存取数据的应用。
单链表
定义
线性表的链式存储结构的特点是用一组任意的存储单元存储线性表的数据元素，这组存储单元可以是连续的，也可以是不连续的。
我们把存储数据元素信息的域称为数据域，把存储直接后继位置的域称为指针域。指针域中存储的信息称做指针或链。这两部分信息组成数据元素$a_i$的存储映像，称为结点（Node）。
n个结点（ai的存储映像）链结成一个链表，即为线性表（a1,a2,...,an）的链式存储结构，因为此链表的每个结点中只包含一个指针域，所以叫做单链表。
链表中第一个结点的存储位置叫做头指针,最后一个结点指针为“空”。
为了更加方便地对链表进行操作，会在单链表的第一个结点前附设一个结点，称为头结点。头结点的指针域存储指向第一个结点的指针。
读取
获得链表第i个数据的算法思路：
声明一个指针p指向链表第一个结点，初始化j从1开始；
当j<i时，就遍历链表，让p的指针向后移动，不断指向下一结点，j累加1；
若到链表末尾p为空，则说明第i个结点不存在；
否则查找成功，返回结点p的数据。
插入与删除
获得链表第i个数据的算法思路：
1.声明一个指针p指向链表第一个结点，初始化j从1开始；
2.当j<i时，就遍历链表，让p的指针向后移动，不断指向下一结点，j累加1；
3.若到链表末尾p为空，则说明第i个结点不存在；
4.否则查找成功，返回结点p的数据。
单链表第i个数据删除结点的算法思路：
1.声明一指针p指向链表头结点，初始化j从1开始；
2.当j<i时，就遍历链表，让p的指针向后移动，不断指向下一个结点，j累加1；
3.若到链表末尾p为空，则说明第i个结点不存在；
4.否则查找成功，将欲删除的结点p->next赋值给q；
5.单链表的删除标准语句p->next=q->next；
6.将q结点中的数据赋值给e，作为返回；
分析一下刚才我们讲解的单链表插入和删除算法，我们发现，它们其实都是由两部分组成：第一部分就是遍历查找第i个结点；第二部分就是插入和删除结点。
从整个算法来说，我们很容易推导出：它们的时间复杂度都是$O(n)$。如果在我们不知道第i个结点的指针位置，单链表数据结构在插入和删除操作上，与线性表的顺序存储结构是没有太大优势的。但如果，我们希望从第i个位置，插入10个结点，对于顺序存储结构意味着，每一次插入都需要移动n-i个结点，每次都是$O(n)$。而单链表，我们只需要在第一次时，找到第i个位置的指针，此时为$O(n)$，接下来只是简单地通过赋值移动指针而已，时间复杂度都是$O(1)$。显然，对于插入或删除数据越频繁的操作，单链表的效率优势就越是明显。
单链表的整表创建
TODO）
单链表的整表删除
TODO）
单链表结构与顺序存储结构优缺点
若线性表需要频繁查找，很少进行插入和删除操作时，宜采用顺序存储结构。若需要频繁插入和删除时，宜采用单链表结构。比如说游戏开发中，对于用户注册的个人信息，除了注册时插入数据外，绝大多数情况都是读取，所以应该考虑用顺序存储结构。而游戏中的玩家的武器或者装备列表，随着玩家的游戏过程中，可能会随时增加或删除，此时再用顺序存储就不太合适了，单链表结构就可以大展拳脚。当然，这只是简单的类比，现实中的软件开发，要考虑的问题会复杂得多。
当线性表中的元素个数变化较大或者根本不知道有多大时，最好用单链表结构，这样可以不需要考虑存储空间的大小问题。而如果事先知道线性表的大致长度，比如一年12个月，一周就是星期一至星期日共七天，这种用顺序存储结构效率会高很多。
静态链表
TODO）
循环链表
TODO）
双向链表
TODO）
总结
这一章，我们主要讲的是线性表。
先谈了它的定义，线性表是零个或多个具有相同类型的数据元素的有限序列。然后谈了线性表的抽象数据类型，如它的一些基本操作。
之后我们就线性表的两大结构做了讲述，先讲的是比较容易的顺序存储结构，指的是用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。通常我们都是用数组来实现这一结构。
后来是我们的重点，由顺序存储结构的插入和删除操作不方便，引出了链式存储结构。它具有不受固定的存储空间限制，可以比较快捷的插入和删除操作的特点。然后我们分别就链式存储结构的不同形式，如单链表、循环链表和双向链表做了讲解，另外我们还讲了若不使用指针如何处理链表结构的静态链表方法。
总的来说，线性表的这两种结构,其实是后面其他数据结构的基础，把它们学明白了，对后面的学习有着至关重要的作用。
栈和队列
栈
栈（stack）是限定仅在表尾（栈顶）进行插入和删除操作的线性表。
我们把允许插入和删除的一端称为栈顶（top），另一端称为栈底（bottom），不含任何数据元素的栈称为空栈。栈又称为后进先出（LastIn First Out）的线性表，简称LIFO结构。
插入，压栈，进栈，push
删除，弹栈，出栈，pop
队列
队列（queue）是只允许在一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作的线性表。
队列是一种先进先出（First In First Out）的线性表，简称FIFO。允许插入的一端称为队尾，允许删除的一端称为队头。
同样是线性表，队列也有类似线性表的各种操作，不同的就是插入数据只能在队尾进行，删除数据只能在队头进行。
为了避免当只有一个元素时，队头和队尾重合使处理变得麻烦，所以引入两个指针，front指针指向队头元素，rear指针指向队尾元素的下一个位置，这样当front等于rear时，此队列不是还剩一个元素，而是空队列。
总结
栈（stack）是限定仅在表尾进行插入和删除操作的线性表。
队列（queue）是只允许在一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作的线性表。
它们均可以用线性表的顺序存储结构来实现，但都存在着顺序存储的一些弊端。因此它们各自有各自的技巧来解决这个问题。
对于栈来说，如果是两个相同数据类型的栈，则可以用数组的两端作栈底的方法来让两个栈共享数据，这就可以最大化地利用数组的空间。
对于队列来说，为了避免数组插入和删除时需要移动数据，于是就引入了循环队列，使得队头和队尾可以在数组中循环变化。解决了移动数据的时间损耗，使得本来插入和删除是O(n)的时间复杂度变成了O(1)。
它们也都可以通过链式存储结构来实现，实现原则上与线性表基本相同。
串
定义
计算机中的常用字符是使用标准的ASCII编码，更准确一点，由7位二进制数表示一个字符，总共可以表示128个字符。后来发现一些特殊符号的出现，128个不够用，于是扩展ASCII码由8位二进制数表示一个字符，总共可以表示256个字符，这已经足够满足以英语为主的语言和特殊符号进行输入、存储、输出等操作的字符需要了。可是，单我们国家就有除汉族外的满、回、藏、蒙古、维吾尔等多个少数民族文字，换作全世界估计要有成百上千种语言与文字，显然这256个字符是不够的，因此后来就有了Unicode编码，比较常用的是由16位的二进制数表示一个字符，这样总共就可以表示216个字符，约是6.5万多个字符，足够表示世界上所有语言的所有字符了。当然，为了和ASCII码兼容，Unicode的前256个字符与ASCII码完全相同。
总结
这一章节我们重点讲了“串”这样的数据结构，串（string）是由零个或多个字符组成的有限序列，又名叫字符串。本质上，它是一种线性表的扩展，但相对于线性表关注一个个元素来说，我们对串这种结构更多的是关注它子串的应用问题，如查找、替换等操作。现在的高级语言都有针对串的函数可以调用。我们在使用这些函数的时候，同时也应该要理解它当中的原理，以便于在碰到复杂的问题时，可以更加灵活的使用，比如KMP模式匹配算法的学习，就是更有效地去理解index函数当中的实现细节。多用心一点，说不定有一天，可以有以你的名字命名的算法流传于后世。
树
定义
树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一棵非空树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；（2）当n＞1时，其余结点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1、T2、……、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）
树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度（De-gree）。
度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。
除根结点之外，分支结点也称为内部结点。
树的度是树内各结点的度的最大值。
森林（Forest）是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。
结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）。嗯，为什么不是父或母，叫双亲呢？呵呵，对于结点来说其父母同体，唯一的一个，所以只能把它称为双亲了。同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）。
二叉树
二叉树的特点有：
1.每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。注意不是只有两棵子树，而是最多有。没有子树或者有一棵子树都是可以的。
2.左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。就像人有双手、双脚，但显然左手、左脚和右手、右脚是不一样的，右手戴左手套、右脚穿左鞋都会极其别扭和难受。
3.即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。图6-5-3中，树1和树2是同一棵树，但它们却是不同的二叉树。就好像你一不小心，摔伤了手，伤的是左手还是右手，对你的生活影响度是完全不同的。
二叉树的性质
性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i≥1）；
性质2：深度（层）为k的二叉树至多有2k-1个结点（k≥1）；
性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数（叶子结点数）为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1；
性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为|log2n+1|（|x|表示不大于x的最大整数）；
性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为）的结点按层序编号（从第1层到第层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有：
1．如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点。
2．如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。
3．如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。
总结回顾
终于到了总结的时间，这一章与前面章节相比，显得过于庞大了些，原因也就在于树的复杂性和变化丰富度是前面的线性表所不可比拟的。即使在本章之后，我们还要讲解关于树这一数据结构的相关知识，可见它的重要性。
开头我们提到了树的定义，讲到了递归在树定义中的应用。提到了如子树、结点、度、叶子、分支结点、双亲、孩子、层次、深度、森林等诸多概念，这些都是需要在理解的基础上去记忆的。
我们谈到了树的存储结构时，讲了双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法等不同的存储结构。
并由孩子兄弟表示法引出了我们这章中最重要一种树，二叉树。
二叉树每个结点最多两棵子树，有左右之分。提到了斜树，满二叉树、完全二叉树等特殊二叉树的概念。
我们接着谈到它的各种性质，这些性质给我们研究二叉树带来了方便。
二叉树的存储结构由于其特殊性使得既可以用顺序存储结构又可以用链式存储结构表示。
遍历是二叉树最重要的一门学问，前序、中序、后序以及层序遍历都是需要熟练掌握的知识。要让自己要学会用计算机的运行思维去模拟递归的实现，可以加深我们对递归的理解。不过，并非二叉树遍历就一定要用到递归，只不过递归的实现比较优雅而已。这点需要明确。
二叉树的建立自然也是可以通过递归来实现。
研究中也发现，二叉链表有很多浪费的空指针可以利用，查找某个结点的前驱和后继为什么非要每次遍历才可以得到，这就引出了如何构造一棵线索二叉树的问题。线索二叉树给二叉树的结点查找和遍历带来了高效率。
树、森林看似复杂，其实它们都可以转化为简单的二叉树来处理，我们提供了树、森林与二叉树的互相转换的办法，这样就使得面对树和森林的数据结构时，编码实现成为了可能。
最后，我们提到了关于二叉树的一个应用，赫夫曼树和赫夫曼编码，对于带权路径的二叉树做了详尽地讲述，让你初步理解数据压缩的原理，并明白其是如何做到无损编码和无错解码的。
图
图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
1.线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点（Vertex）。
2.线性表中可以没有数据元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。那么对于图呢？在定义中，若V是顶点的集合，则强调了顶点集合V有穷非空。
3.线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，而图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。
图的定义与术语总结
图按照有无方向分为无向图和有向图。无向图由顶点和边构成，有向图由顶点和弧构成。弧有弧尾和弧头之分。
图按照边或弧的多少分稀疏图和稠密图。如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
图中顶点之间有邻接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。
图上的边或弧上带权则称为网。
图中顶点间存在路径，两顶点存在路径则说明是连通的，如果路径最终回到起始点则称为环，当中不重复叫简单路径。若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称强连通图。图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。
无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的叫有向树。一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。
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