算法-动态规划
1.爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1：
输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶
示例 2：
输入： 3 输出： 3 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 2. 1 阶 + 2 阶 3. 2 阶 + 1 阶
class Solution { public: int climbStairs(int n) { if(n<=2)return n; int pre=1,cur=2; int next; for(int i=3;i<=n;i++){ next=pre+cur; pre=cur; cur=next; } return next; } };
2.打家劫舍
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，能够偷窃到的最高金额。
示例 1:
输入: [1,2,3,1] 输出: 4 解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。 偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。
示例 2:
输入: [2,7,9,3,1] 输出: 12 解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。 偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。
class Solution { public: int rob(vector<int>& nums) { int len=nums.size(); if(len==0) return 0; if(len==1) return nums[0]; vector<int> dp(len,0); dp[0]=nums[0]; dp[1]=max(nums[0],nums[1]); for(int i=2;i<len;i++){ dp[i]=max(dp[i-2]+nums[i],dp[i-1]); } return dp[len-1]; } };
3.最大子数组
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
示例:
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4], 输出: 6 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
进阶:
如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。
1 class Solution { 2 public: 3 int maxSubArray(vector<int>& nums) { 4 int len=nums.size(); 5 vector<int> dp(len,0); 6 dp[0]=nums[0]; 7 int max_res=dp[0]; 8 for(int i=1;i<len;i++){ 9 dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]); 10 if(dp[i]>max_res) max_res=dp[i]; 11 } 12 return max_res; 13 } 14 };
也可以不用动态规划
4.三角形路径最小和
给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。
例如，给定三角形：
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。
说明：
如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。
1 class Solution { 2 public: 3 int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) { 4 //自下而上动态规划 5 for(int i=triangle.size()-2;i>=0;i--){ 6 for(int j=0;j<triangle[i].size();j++){ 7 triangle[i][j]+=min(triangle[i+1][j],triangle[i+1][j+1]); 8 } 9 } 10 return triangle[0][0]; 11 } 12 };
5.最小路径和
给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例:
输入: [ [1,3,1], [1,5,1], [4,2,1] ] 输出: 7 解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
class Solution { public: int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { if(grid.size()==0) return 0; int row=grid.size(); int column=grid[0].size(); vector<vector<int>> dp(row,vector<int>(column,0)); dp[0][0]=grid[0][0]; for(int j=1;j<column;j++){ dp[0][j]=dp[0][j-1]+grid[0][j]; } for(int i=1;i<row;i++){ dp[i][0]=dp[i-1][0]+grid[i][0]; } for(int i=1;i<row;i++) for(int j=1;j<column;j++){ dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]; } return dp[row-1][column-1]; } };
6.地下城游戏
一些恶魔抓住了公主（P）并将她关在了地下城的右下角。地下城是由 M x N 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士（K）最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。
骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。
有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。
为了尽快到达公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。
编写一个函数来计算确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。
例如，考虑到如下布局的地下城，如果骑士遵循最佳路径 右 -> 右 -> 下 -> 下，则骑士的初始健康点数至少为 7。
| -2 (K) | -3 | 3 |
| -5 | -10 | 1 |
| 10 | 30 | -5 (P) |
说明:
-
骑士的健康点数没有上限。
- 任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。
class Solution { public: //逆序动态规划 int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) { int row=dungeon.size(); int column=dungeon[0].size(); if(row==0) return 1; vector<vector<int>> dp(row,vector<int>(column,0)); dp[row-1][column-1]=max(1,1-dungeon[row-1][column-1]); for(int i=row-2;i>=0;i--){ dp[i][column-1]=max(dp[i+1][column-1]-dungeon[i][column-1],1); } for(int j=column-2;j>=0;j--){ dp[row-1][j]=max(dp[row-1][j+1]-dungeon[row-1][j],1); } for(int i=row-2;i>=0;i--){ for(int j=column-2;j>=0;j--){ dp[i][j]=max(1,min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j]); } } return dp[0][0]; } };
