【概率论】对弈输光模型，ruin model
一个很有意思的问题：
设甲有资金
元，乙有
元，
，两人对弈，每局甲以概率
赢1元，以概率
，输1元。规定不欠不借，对弈到甲乙中有一人输光才结束。求甲输光的概率。
解 一般的，我们将甲在有资金
的时候最终输光的概率记为
，求此时输光的概率
的关键是求的一个
满足地推关系。为此我们利用如下的随机事件：
。显然有关系
得到一个递推关系，经过简单的计算得到：
两个边界条件
（1）：
可以解
令
；得到
所以
从而
（2）：特别的，当
（即公平博弈），
不难推出
这个例子是全概率公式的一个典型应用，即若后一个实验结果与前一个有关，前一个实验的所有结果已经组成了一个划分，那么可以用全概率公式得到有关概率的一个递推方程。这种方法称为首部分析法。
结果是很有意思的，就算是所谓的公平博弈，最后还是钱多的人赢的概率大。所以庄家都赚得盆满钵满，而对于散户来说验证了久赌必输这个道理。不输到倾家荡产绝不罢休，所以对于屁民我，还是真爱生命远离赌博。
