【概率论】对弈输光模型,ruin model
一个很有意思的问题:
设甲有资金元,乙有
元,
,两人对弈,每局甲以概率
赢1元,以概率
,输1元。规定不欠不借,对弈到甲乙中有一人输光才结束。求甲输光的概率。
解 一般的,我们将甲在有资金的时候最终输光的概率记为
,求此时输光的概率
的关键是求的一个
满足地推关系。为此我们利用如下的随机事件:
。显然有关系
得到一个递推关系,经过简单的计算得到:
两个边界条件
(1):
可以解
令;得到
所以
从而
(2):特别的,当(即公平博弈),
不难推出
这个例子是全概率公式的一个典型应用,即若后一个实验结果与前一个有关,前一个实验的所有结果已经组成了一个划分,那么可以用全概率公式得到有关概率的一个递推方程。这种方法称为首部分析法。
结果是很有意思的,就算是所谓的公平博弈,最后还是钱多的人赢的概率大。所以庄家都赚得盆满钵满,而对于散户来说验证了久赌必输这个道理。不输到倾家荡产绝不罢休,所以对于屁民我,还是真爱生命远离赌博。