3.算法与数据结构 4 - 主席树（可持久化权值线段树）01-17

0. 主席树的名字

主席树和主席没有关系。

它之所以叫主席树，是因为它的发明者叫 HJT ，和时任这一职务的那个人一样。

1. 例题

静态查询数组 $a$ 中 $[l, r]$ 第 $k$ 大的值。

一种暴力的方法是：每次询问对区间进行排序。这样的时间复杂度是 $O (m n log n)$ ，妥妥地超时。

2. 二分的应用

先来考虑：假如已经知道值域 $W = [1, m]$ 内每个数在 $a [l . . . r]$ 的出现次数，那么可以判断 $x \in [1, \frac{1 + m}{2}]$ 中 $x$ 在 $a [l . . . r]$ 里出现了多少次。

如果出现次数 $> k$ ，则说明区间第 $k$ 大的数 $p \in [1, \frac{1 + m}{2}]$ ，然后就可以继续二分；如果出现次数 $< k$ ，则说明区间第 $k$ 大的数 $p \in [\frac{1 + m}{2} + 1, m]$ ，然后也可以继续二分。

然后，为了求出 $a [l . . . r]$ 中数值在 $[p, q]$ 的数有多少个，需要引入权值线段树和可持久化数据结构。

3. 权值线段树和可持久化数据结构

在权值线段树中，若节点 $s$ 维护区间 $[l, r]$ ，则它的值表示在整个原数组中，数值在 $[l, r]$ 中数字的个数。这样，就实现了求数值在 $[p, q]$ 的数有多少个。

对于限定的 $a [l . . . r]$ ，可以按顺序将 $a_{i}$ 插入到权值线段树里。每插入一个数字 $a_{i}$ 记录一下这棵线段树 ${sgt}_{i}$ 。接下来，用 ${sgt}_{r} - {sgt}_{l - 1}$ 即可得到区间 $[l, r]$ 的权值线段树。

为了解决空间不够的问题，需要对插入操作进行一些改进。可以发现线段树的单点修改最多改变 ${log}_{m}$ 个节点的值。那么可以在每次修改时新开一个节点，而不是修改原来的节点。接下来，将新节点的左右儿子指针指向原节点的左右儿子；如果儿子也需要修改，则新开一个儿子节点，然后继续上述操作。这样，只需要找到每个历史版本的根节点，就可以遍历这个版本的线段树。