Codeforces 1450 题目研讨

合集 - Codeforces(11)

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本文将会对 Codeforces 1450 A-H 进行探讨。

题目链接

CF1450

题目分析

A

难度：入门
算法标签：字符串
题目描述：对给定的字符串内字符的顺序进行调换，使 trygub 不是该字符串的子串。
解题思路：
本题有多种思路。下面介绍其中两种。

将字符串内所有 b 字符移到字符串开头
对字符串进行排序
容易证明这两种方法都是正确的。

B

难度：普及−
算法标签：贪心（？）
题目描述：平面上有 $n$ 个点。每次操作选择一个点，将到这个点的曼哈顿距离不超过 $k$ 的点删除。问最少多少次操作后平面上只剩下一个点，或者无法做到这一点（此时输出 $- 1$ ）。
解题思路：答案必然 $\in {- 1, 1}$ 。证明如下：
用反证法。假设存在一种情况使得最优解为 $t$ 且 $t \geq 2$ 。设第 $t - 1$ 次操作选择点 A，则分类讨论：

若第 $t$ 次操作选择点 A，则情况不会有任何变化（因为前一次操作已经清空了 A 周围的点），与“最优解为 $t$ ”矛盾；
若第 $t$ 次操作不选择点 A，则点 A 一定不会被删除，因为其他点到 A 的距离一定大于 $k$ ，不满足结束条件，矛盾。
综上所述，不存在情况使得最优解为 $t$ 且 $t \geq 2$ 。因此 $t \in {- 1, 1}$ 。
$O (T n^{2})$ 判断即可。

C1 + C2

难度：普及+/提高 - 提高+/省选−
算法标签：构造、数学
题目描述：

有一个 $n$ 行 $n$ 列的井字棋棋盘，棋盘中的每一个格子要么是空的，要么包含一个棋子。这里有两种棋子分别为 X 和 O 。如果有三个同种类的棋子连续横着或竖着排列，则称这是获胜局。（注意：斜着不算）如果棋盘中没有这样的连续三个同种类的排列，则称这是一个平局。
在一次操作中，你可以将某一枚棋子替换为另一颗棋子。令 $k$ 为初始棋盘中棋子的总数，你可以做最多 $⌊ \frac{k}{3} ⌋$ 次上述操作使得最后的局面为平局。注意：你不需要最小化操作次数。
C1 与 C2 的不同在于 C2 的初始棋局中含有两种棋子，而 C1 只有一种。

解题思路：
注意到斜线不算三连，因此考虑构造斜线。
将格子分为三种，第 $i (i \in {0, 1, 2})$ 种格子的坐标 $(x, y)$ 满足 $(x + y) % 3 = i$ 。于是任意的横竖三连都被拆分为三部分。由于每种格子互相不连续，因此每种格子内部可以由相同的棋子构成。于是棋盘三染色，枚举其中两种，每次操作令两种颜色格子上的棋子不同。由抽屉原理可知答案合法。

D

难度：普及+/提高
题目描述：
给定长度为 $n$ 的序列 $a$ 和正整数 $k$ ，以如下方式生成 $b$ ：

给定 $a$ ，求有哪些 $1 \leq k \leq n$ ，使得生成的 $b$ 是一个排列。
解题思路：
$k = 1$ 或 $n - 1$ 时特判。
不难发现对于 $k = n - 1$ ，当 $1$ 和 $2$ 分别位于整个 $a$ 的两头才合法。
对于 $k = n - 2$ ，同样要求 $1$ 在序列头部和尾部之一，而 $2$ 需要在序列去除 $1$ 后的部分的头围之一;
对于 $k \in [2, n - 3]$ ，同理可得：每次递归地判断当前数字在剩余区间内是否在头尾。
另外注意到：当 $k (k > 2)$ 不合法时， $k - 1$ 也不合法。
因此有分类讨论：对于 $k = 1$ 特判，对于 $k > 1$ 递归求解。

E

难度：省选/NOI−（个人感觉评高了）
算法标签：差分约束、图论
题目描述：

整个社会可以用一张由 $n$ 个顶点和 $m$ 条边组成的无向联通图来表示。顶点代表人，一条边 $(i, j)$ 代表人 $i$ 和 $j$ 之间的友谊。
在社会上，第 $i$ 个人有收入 $a_{i}$ 。一个人 $i$ 羡慕一个人 $j$ ，等价于 $j$ 比 $i$ 多出1个单位的收入，也就是 $a_{j} = a_{i} + 1$ 。
如果对于每一对朋友，都有一个人羡慕另一个人，这个社会就叫资本主义社会。对于一些朋友关系，你知道哪个人在羡慕另一个人。对于其余的朋友关系，你不知道谁羡慕谁。
社会收入不等值的定义是： ${max}_{i = 1}^{n} a_{i} - {min}_{i = 1}^{n} a_{i}$ ，也就是社会中收入最多的人的收入与收入最少的人的收入之差。
你只知道一些朋友关系，不知道每个人的收入。对于一部分朋友关系，你知道谁羡慕谁；对于另外一部分，你不知道。你要判断这个社会是否可能成为资本主义社会。如果是，你要构造一个 $a$ 满足所有条件，且这是个资本主义社会。要求你给出的 $a$ 让社会收入不等值最大。