Codeforces 777 题目研讨

合集 - Codeforces(11)

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本文将研讨 Codeforces 777（Codeforces Round 401 (Div. 2)）中的题目 A-E。

题目连接

A B C D E

题目分析

A

难度：普及−
题面翻译：

给你三张牌：$0$，$1$，$2$。
最初选一张，然后依次进行 $n$ 次交换，交换规则为：中间一张和左边的一张，中间一张和右边一张，中间一张和左边一张……
最后问选的那张在哪个位置。

算法标签：模拟、枚举、构造、数学
题解：
注意到每 $6$ 次操作为一个周期，在经过一周期后序列被还原成操作前的形态。因此打个表然后直接做就做完了。

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B

难度：普及−
题面翻译：

有两个人 S 和 M，他们每人有一段长度为 $N$ 的数字，两个人在每一轮游戏中都可以按顺序拿出一个数字，谁的数字小谁就接受一次惩罚。若相等两者都没有惩罚。另外，M 可以重新安排自己数字的顺序，问 M 的最少被惩罚次数和 S 的最多被惩罚次数是多少。

算法标签：博弈论、数据结构、贪心、排序
题解：
先排个序。
参考这个博弈论的现实应用，可以得出以下策略：

1. 若此轮能赢，则使用最小的能赢下来的牌。
2. 若此轮不能赢，则出当前最小的牌。

证明略。
设 S 的牌为 $s_i$，M 的牌为 $m_i$。显然，对于第一问，只要 $s_i\ge m_i$ 就能出 $m_i$ 这张牌。
而对于第二问，出牌条件改为 $s_i>m_i$ 即可。

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C

难度：普及+/提高
题面翻译：

给出一个 $n\times m$ 的矩阵。对于第 $j$ 列，如果满足 $\mathrm{\forall }i\in [1,n-1],a_{i,j}\le a_{i+1,j}$，则称这一列是不下降的。
$k$ 次询问，问如果只保留矩阵的第 $L$~$R$ 行，矩阵中是否存在不下降的一列。

算法标签：二分、数据结构、动态规划、贪心、双指针
题解：
注意到本题和最长不下降子串有关。用 $b_{i,j}$ 表示以 $a_{i,j}$ 结尾的最长不下降子串起始位置的下标（注意不是长度），然后预处理出每一行最小的 $b$ 即可在 $O(1)$ 内查询。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, k, a[200010], b[200010], c[200010];
int coordinate(int x, int y) {
	return x * m + y;
}
int main() {
	memset(c, 0x3f, sizeof(c));
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			scanf("%d", &a[coordinate(i, j)]);
		}
	}
	for (int j = 1; j <= m; j++) {
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			b[coordinate(i, j)] = ((a[coordinate(i, j)] < a[coordinate(i - 1, j)]) ? i : b[coordinate(i - 1, j)]);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			c[i] = min(c[i], b[coordinate(i, j)]);
		}
	}
	scanf("%d", &k);
	while (k--) {
		int l, r;
		scanf("%d%d", &l, &r);
		if (c[r] <= l) puts("Yes");
		else puts("No");
	}
	return 0;
}

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D

难度：普及+/提高
题面翻译：

给出 $n$ 个开头是 # 的字符串，你需要通过操作使这些字符串按字典序从小到大排列。
每次操作，你可以把某一个字符串的任意后缀去掉（当然你甚至可以去掉整个字符串），要求你去掉的字符数量最少。
输出你操作完的这 $n$ 个字符串。

算法标签：二分、贪心、字符串
题解：
不难发现，本题和排序没有任何关系。
注意到去除后缀会使字符串的字典序变小，因此 $s_n$ 不需要变化。而对于 $s_i(1\le i\le n-1)$，可以贪心的操作，使其刚好小于等于 $s_{i+1}$。因此从后往前操作即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
string s[500010];
int main() {
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> s[i];
	for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
		int t = -1;
		for (int j = 0; j < s[i].size(); j++) {
			if (j == s[i + 1].size()) {
				t = j;
				break;
			}
			if (s[i][j] < s[i + 1][j]) break;
			if (s[i][j] > s[i + 1][j]) {
				t = j;
				break;
			}
		}
		if (t != -1) s[i].erase(t);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) cout << s[i] << "\n";
	return 0;
}

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E

难度：提高+/省选−
题面翻译：

给出 $n$ 个环形零件的厚度、内径、外径，要求按以下条件装配若干圆盘后，形成的塔最高。

• 圆盘应平放。也就是说，对于每个安放的零件，侧视图应当为长方形，而俯视图应为圆环。
• 圆盘应叠放，而下方的圆盘外径应大于等于上方圆盘的外径。
• 上方圆盘的外径应严格大于下方圆盘的内径（否则上方圆盘会因重力作用掉到下方圆盘的孔里）。

算法标签：枚举、排序
题解：
这道题和最长上升子序列有点像。先按照 $b_i$ 降序对圆环排序，方便转移。
设 ${\text{dp}}_i$ 为以 $i$ 为顶的最大塔高，则有转移：

$${\text{dp}}_i=\text{max}\{{\text{dp}}_j+h_i\}(j<i,b_i>a_j)$$

。于是你 T 了。
因此考虑引入堆优化。将先前的状态压入大根堆中（按 $h$ 排序），直接弹出 $a\ge b_i$ 的栈顶（因为此时堆顶不合法，接下来堆顶一定更不合法），直到合法，然后更新答案即可。
时间复杂度 $O(n\text{log}n)$，可以通过。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
struct dat {
	int a, b, h;
} ring[100010];
int n, dp[100010];
bool cmp(dat a, dat b) {
	if (a.b != b.b) return a.b > b.b;
	return a.a > b.a;
}
bool operator < (dat x, dat y) { return x.h < y.h; }
priority_queue<dat> q;
signed main() {
	scanf("%lld", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld%lld%lld", &ring[i].a, &ring[i].b, &ring[i].h);
	}
	sort(ring + 1, ring + n + 1, cmp);
	q.push({0, 0, 0});
	long long ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		while (q.top().a >= ring[i].b) q.pop();
		dp[i] = q.top().h + ring[i].h;
		q.push({ring[i].a, ring[i].b, q.top().h + ring[i].h});
		ans = max(ans, dp[i]);
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}

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总结

这套题在 Codeforces 中属于较简单水平，有希望考场 AK（只是有希望）。

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参考资料：
[1] Sima Qian.The Biography of Sun Wu & Wu Qi[A]Records of the Grand Historian[C].Chang'an:Yang Yun,91BCE:1-2