Codeforces 1847 A-F

合集 - Codeforces(11)

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题面

A B C D E F
难度：红 橙 黄 蓝 紫 紫

题解

B

题目大意：找到一组分割方法，使得 $\sum _{i=1}^k({\text{\&}}_{j=l_i}^{r_i}{a}_j)$ 取得最小值时使 $k$ 最大，输出 $k$。其中 $\text{\&}$ 表示按位与操作。

题目分析：

&	0	1
0	0	0
1	0	1

不难发现，因为 $a\in \mathbb{N}$，所以 $$\begin{array}{}\text{(1)}& a,b\ge a\mathrm{\&}b\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(2)}& a+b\ge a\mathrm{\&}b\end{array}$$且对于公式 (2)，当且仅当 $a=b=0$ 时取等。
因此考虑贪心。设 $x={\text{\&}}_{i=1}^n{a}_i$。对于 $x>0$ 的 情况，根据 (2)，分成一组的和是最优的，因此 $k=1$；对于 $x=0$ 的情况，只要将原数组分为几段区间按位与都为 $0$ 的区间即可。
代码略。

C

题目大意：对于数组 $a$，它的前 $n$ 个数由题目给定，而 $a_i(i>n)={\oplus }_{j=k}^{i-1}{a}_j$，其中 $k$ 不确定，$1\le k\le i-1$，而 $\oplus$ 表示按位异或。求 $a$ 中元素的最大可能值。
这套题怎么这么多位运算？
题目分析：

$\oplus$	0	1
0	0	1
1	1	0

题目给定 $a_i<2^8(1\le i\le n)$，所以由按位与的定义得到全体 $a_i<2^8$。
设 $a_p={\oplus }_{i=l}^{p-1}{a}_i$，则 $a_{p+1}={\oplus }_{i=k}^p{a}_i=({\oplus }_{i=k}^{p-1}{a}_i)\oplus a_p=({\oplus }_{i=k}^{p-1}{a}_i)\oplus ({\oplus }_{i=l}^{p-1}{a}_i)={\oplus }_{i=min(k,l)}^{max(k,l)-1}{a}_i$。
于是问题转化为求最大字段异或。又因为异或运算满足结合律，可以用前缀异或加速。
问题再次转化为：求前缀异或数组中，任意两数异或的最大值。
由于 $a_i<2^8$，所以前缀异或数组中元素的值也在这个值域内。因此考虑用桶记录前缀数组中的数，然后与前缀数组进行“配对”求异或值。时间复杂度 $O(2^8\times n)$，可以通过这道题。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t, n, a[100010];
bool x[100010];
int main() {
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		memset(x, 0, sizeof(x));
		scanf("%d", &n);
		int ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%d", &a[i]);
			a[i] ^= a[i - 1];
			x[a[i]] = 1;
			ans = max(ans, a[i]);
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 0; j < 256; j++) {
				if (x[j]) {
					ans = max(ans, a[i] ^ j);
				}
			}
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}

D

从这里开始难度陡增。
（未完）