NYOJ 737---石子归并（GarsiaWachs算法）

原题链接

描述    有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

 

输入

有多组测试数据，输入到文件结束。
每组测试数据第一行有一个整数n，表示有n堆石子。
接下来的一行有n（0< n <200）个数，分别表示这n堆石子的数目，用空格隔开

输出

输出总代价的最小值，占单独的一行

样例输入

3
1 2 3
7
13 7 8 16 21 4 18

样例输出

9
239

对于石子合并问题，有一个最好的算法，那就是GarsiaWachs算法。时间复杂度为O(n^2)。

它的步骤如下：

设序列是stone[]，从左往右，找一个满足stone[k-1] <= stone[k+1]的k，找到后合并stone[k]和stone[k-1]，再从当前位置开始向左找最大的j，使其满足stone[j] > stone[k]+stone[k-1]，插到j的后面就行。一直重复，直到只剩下一堆石子就可以了。在这个过程中，可以假设stone[-1]和stone[n]是正无穷的。

 

举个例子：

186 64 35 32 103

因为35<103，所以最小的k是3，我们先把35和32删除，得到他们的和67，并向前寻找一个第一个超过67的数，把67插入到他后面，得到：186 67 64 103,现在由5个数变为4个数了，继续：186 131 103，现在k=2（别忘了，设A[-1]和A[n]等于正无穷大）234 186，最后得到420。最后的答案呢？就是各次合并的重量之和，即420+234+131+67=852。

 

基本思想是通过树的最优性得到一个节点间深度的约束，之后证明操作一次之后的解可以和原来的解一一对应，并保证节点移动之后他所在的深度不会改变。具体实现这个算法需要一点技巧，精髓在于不停快速寻找最小的k，即维护一个“2-递减序列”朴素的实现的时间复杂度是O(n*n)，但可以用一个平衡树来优化，使得最终复杂度为O(nlogn)。

代码如下：

#include <iostream>  
#include <string.h>  
#include <stdio.h>  
  
using namespace std;  
const int N = 50005;  
  
int stone[N];  
int n,t,ans;  
  
void combine(int k)  
{  
    int tmp = stone[k] + stone[k-1];  
    ans += tmp;  
    for(int i=k;i<t-1;i++)  
        stone[i] = stone[i+1];  
    t--;  
    int j = 0;  
    for(j=k-1;j>0 && stone[j-1] < tmp;j--)  
        stone[j] = stone[j-1];  
    stone[j] = tmp;  
    while(j >= 2 && stone[j] >= stone[j-2])  
    {  
        int d = t - j;  
        combine(j-1);  
        j = t - d;  
    }  
}  
  
int main()  
{  
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
    {  
        if(n == 0) break;  
        for(int i=0;i<n;i++)  
            scanf("%d",stone+i);  
        t = 1;  
        ans = 0;  
        for(int i=1;i<n;i++)  
        {  
            stone[t++] = stone[i];  
            while(t >= 3 && stone[t-3] <= stone[t-1])  
                combine(t-2);  
        }  
        while(t > 1) combine(t-1);  
        printf("%d\n",ans);  
    }  
    return 0;  
}