类欧几里得小记
前言
每次看了很快就忘了，干脆写一篇博客，来加深记忆。
定义
设
\[f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n}\lfloor\dfrac{ai+b}{c}\rfloor
\]
\[g(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n}i\lfloor\dfrac{ai+b}{c}\rfloor
\]
\[g(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n}{\lfloor\dfrac{ai+b}{c}\rfloor}^2
\]
\[m=\lfloor\dfrac{an+b}{c}\rfloor
\]
一、f(a,b,c,n)
当a>=c时，\(=f(a\%c,b,c,n)+\lfloor\dfrac{a}{c}\rfloor*n(n+1)/2\)
当b>=c时，\(=f(a,b\%c,c,n)+\lfloor\dfrac{b}{c}\rfloor*(n+1)\)
然后
\[=\sum_{i=0}^{n}\lfloor\dfrac{ai+b}{c}\rfloor
\]
我们将\(\dfrac{ai+b}{c}\)当作一条以i为自变量的直线，
于是原式就等于这个直角梯形内的整点个数，
\[=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\lfloor\dfrac{ai+b}{c}\rfloor>=j]
\]
\[=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[\lfloor\dfrac{ai+b}{c}\rfloor>=j+1]
\]
\[=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[ai+b>=jc+c]
\]
\[=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[ai+b>jc+c-1]
\]
\[=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[ai>jc+c-b-1]
\]
\[=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[i>\lfloor\dfrac{jc+c-b-1}{a}\rfloor]
\]
\[=\sum_{j=0}^{m-1}\sum_{i=0}^{n}[i>\lfloor\dfrac{jc+c-b-1}{a}\rfloor]
\]
\[=\sum_{j=0}^{m-1}(n-\sum_{i=0}^{n}[i<=\lfloor\dfrac{jc+c-b-1}{a}\rfloor])
\]
\[=nm-f(c,c-b-1,a,m-1)
\]
时间复杂度类似与扩展欧几里得。
二、g(a,b,c,n)
//坑
