【NOIP2012模拟10.31】掷骰子

题目

太郎和一只免子正在玩一个掷骰子游戏。有一个有N个格子的长条棋盘，太郎和兔子轮流掷一个有M面的骰子，骰子M面分别是1到M的数字.且掷到任意一面的概率是相同的.掷到几.就往前走几步.当谁走到第N格时，谁就获胜了。游戏中还有一个规则“反弹”.就是当一位选手要走到第N格外时.他就会后退(就像飞行棋进营一样)。

假设现在一位追手在A格.当他掷出B时：


1.A+B<N，走到第A+B.络，


2.A+B=N，走到第N格，获胜。


3.A+B≥N，走到第(N-(A+B-N)格


现在太郎和兔子分别在第x和y格.接下来是太郎掷骰子，太郎想知道他赢得比赛的概率就多少。

分析

设\(f_{i,j}\)表示太郎在i，兔子在j，太郎的胜率。我们从后往前转移。
我们分四种情况：

1、i+m<=n and j+m<=n
2、i+m>n and j+m<=n
3、i+m<=n and j+m>n
4、i+m>n and j+m>n

why?
因为发现，当\(i+m>n\)时，i怎么跳总是\(i+m>n\)，那么就可以把它们当做同一种状态。j也一样。

情况一：i+m<=n and j+m<=n

因为i走到k的概率为\(\dfrac{1}{m}\)，j走到l的概率也为\(\dfrac{1}{m}\)，
那么状态(i,j)的胜率就是状态(k,l)胜率的总和。

\[f_{i,j}=\dfrac{1}{m^2}\sum_{k=i+1}^{i+m+1}\sum_{l=j+1}^{j+m+1}f_{k,l} \]

情况二：i+m>n and j+m<=n

\[f_{i,j}=\dfrac{(m-1)\sum_{l=j+1}^{j+m+1}f_{i,l}}{m^2}+\dfrac{1}{m} \]

显然i有\(\dfrac{1}{m}\)的概率到达终点，而i有m种可能，又那么既然已经算了到达终点的概率，那么就不用在计算，所以乘以(m-1)。

情况三：i+m<=n and j+m>n

\[f_{i,j}=\dfrac{(m-1)\sum_{k=i+1}^{i+m+1}f_{k,j}}{m^2}+\dfrac{x(如果i=n-m，x=1，否则x=0)}{m} \]

同样j有m种可能，但不能让他到达终点，那么就不用在计算，所以乘以(m-1)。
而当i在n-m这个位置时，i也有\(\dfrac{1}{m}\)的概率到达终点，有可能出现状态(n,n)，由于太郎是先手，所以算太郎赢，而前面有减去了j到达终点的情况，所以加上去。

情况四：i+m>n and j+m>n

要求i赢，所以
当i第一回合就走到了n，概率为\(\dfrac{1}{m}\)，
当i第一回合没有走到n，而j也不能走到n，在第二回合i走到了n概率为\(\dfrac{1}{m}（1-\dfrac{1}{m}）^2\)
如果在第二回合i还是没有走到n，而j还是不能走到n，在第三回合i走到了n概率为\(\dfrac{1}{m}（1-\dfrac{1}{m}）^4\)
如此类推，

\[f_{i,j}=limit_{n\to\infty}\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{m}（1-\dfrac{1}{m}）^2+\dfrac{1}{m}（1-\dfrac{1}{m}）^4+...+\dfrac{1}{m}（1-\dfrac{1}{m}）^{2n} \]

\[=\dfrac{1}{m}（1+（1-\dfrac{1}{m}）^2+（1-\dfrac{1}{m}）^4+...）+（1-\dfrac{1}{m}）^{2n} \]

等比数列求和

\[=\dfrac{1}{m}\dfrac{1*[1-(1-\dfrac{1}{m}）^{2n}]}{1-（1-\dfrac{1}{m}）^2} \]

因为数列的公比小于1，\([1-(1-\dfrac{1}{m}）^{2n}]\)无限趋近于1，所以

\[=\dfrac{1}{m}\dfrac{1}{1-（1-\dfrac{1}{m}）^2} \]

解得

\[f_{i,j}=\dfrac{m}{2m-1} \]

但是这样是\(O(n^4)\)的，用矩阵后缀和优化，变成\(O(n^2)\)。

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const int maxlongint=2147483647;
const int mo=1000000007;
const int N=2005;
using namespace std;
double f[N][N],n,m,x,y;
double val(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	return f[x1][y1]-f[x1][y2]-f[x2][y1]+f[x2][y2];
}
int main()
{
	scanf("%lf%lf%lf%lf",&n,&m,&x,&y);
	for(int i=n;i>=1;i--)
		for(int j=n;j>=1;j--)
		{
			f[i][j]=f[i+1][j]+f[i][j+1]-f[i+1][j+1];
			if(i==n)
			{
				f[i][j]++;
				continue;
			}
			if(j==n) continue;
			if(i+m>n && j+m>n)
				f[i][j]+=m/(2*m-1);
			else
			if(i+m>n)
				f[i][j]+=val(i,j+1,i+1,j+m+1)*(m-1)/m/m+1/m;
			else
			if(j+m>n)
				f[i][j]+=(m-1)*val(i+1,j,i+1+m,j+1)/m/m+(i==n-m)/m/m;
			else
				f[i][j]+=val(i+1,j+1,i+m+1,j+m+1)/(m*m);
			
		}
	printf("%.6lf",val(x,y,x+1,y+1));
}