西行妖

题目

在幻想乡白玉楼有一棵终年不开花的樱树叫西行妖，西行寺幽幽子曾经为了让它开花而大量收集春度，然后被城管教训了一顿...
现在，幽幽子得到城管的允许，收集了S点春度，让西行妖重新开花。
西行妖可以被看成是一棵有n个节点的树，每个叶子节点被分配了1点春度就能开花（幽幽子不会无意义地使用她的春度，于是最多只会给同一个叶子节点分配1点春度），对于非叶子节点i，如果它有至少有1个儿子开花，那么节点i能开花。
据说，西行妖的花开满之时，幽幽子会复活。但是城管只给了S点春度(S≤20)，所以幽幽子这次是抱着娱乐的心态种树的。
如果西行妖有至少m个节点开花，那么幽幽子认为它是美丽的。现在幽幽子想知道，有多少种方案，使西行妖是美丽的（答案对10^9+7取模）。
注意：幽幽子不一定会把S点春度都分配完。

分析

设\(f_{i,j,k}\)表示，第\(i\)个叶子节点分配了第\(j\)个春点，共开了\(k\)朵花的方案数。
那么转移为$$f_{i,j,k}=\sum_{l=1}^{i-1}f_{l,j-1,k-deep(i)+deep(lca(i,l))}（为了让k不被算多，将叶子节点按dfn序排序）)$$
这样的时间复杂度是\(O(n^{3}S)\)的，显然会超时。

然后发现，事实上很多的\(f_{l,j-1,k-deep(i)+deep(lca(i,l))}\)会为0，对答案没贡献。所以我们想办法把这些多余的状态删掉。
我们可以从前面转移到后面，当发现当前面的\(f_{i,j,k}\)为0的时候，就不转移。

\[f_{l,j+1,k+deep(l)-deep(lca(i,l))}=f_{l,j+1,k+deep(l)-deep(lca(i,l))}+f_{i,j,k} \]

#include <cmath>
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#include <cstdio>
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#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const int maxlongint=2147483647;
const int mo=1000000007;
const int N=1005;
using namespace std;
int fa[N],n,m,s,ans,deep[N],g[N][15],f[N][21][N],a[N][N],d[N],tot,lca[N][N];
int dg(int x)
{
	if(!a[x][0])
	{
		d[++tot]=x;
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=a[x][0];i++)
	{
		deep[a[x][i]]=deep[x]+1;
		dg(a[x][i]);
	}
}
int lca1(int x,int y)
{
    int l;
    if(deep[x]<=deep[y])
    {
        l=x;
        x=y;
        y=l;
    }
    int p=0;
    for(int i=log2(n);i>=0;i--)
    {
        if(deep[g[x][i]]>=deep[y])
        {
            x=g[x][i];
        }
    }
    for(int i=log2(n);i>=0;i--)
    {
        if(g[x][i]!=g[y][i])
        {
            x=g[x][i];
            y=g[y][i];
        }
    }
    x=g[x][0];
    return x;
}
int main()
{
	freopen("tree.in","r",stdin);
	freopen("tree.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&fa[i]);
		g[i][0]=fa[i];
		a[fa[i]][++a[fa[i]][0]]=i;
	}
	deep[1]=1;
	dg(1);
	for(int j=1;j<=log2(n);j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			g[i][j]=g[g[i][j-1]][j-1];		
		}
	f[0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			lca[i][j]=lca1(i,j);
		}
	for(int i=0;i<=tot-1;i++)
	{
		for(int j=0;j<=min(s-1,i);j++)
			for(int k=0;k<=n;k++)
			{
				if(f[d[i]][j][k])
				{
					for(int l=i+1;l<=tot;l++)
					{
						(f[d[l]][j+1][k+deep[d[l]]-deep[lca[d[l]][d[i]]]]+=f[d[i]][j][k])%=mo;
					}
				}
			}
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		for(int j=1;j<=s;j++)
			for(int k=m;k<=n;k++)
				(ans+=f[d[i]][j][k])%=mo;
	printf("%d",ans);
}