String

题目

有两种字符串S,T。长度分别为n,m。现在需要在S里面有序地选出k个子串，且在T中出现的顺序与这k个子串的顺序相同。问这k个子串最大的长度和

分析

设\(f_{k,i,j}\)表示，当前做到第\(k\)个子串，\(S\)串的第\(i\)位，\(T\)串的第\(j\)位。
那么转移就是，当\(S_{i}=T_{j}\)

\[f_{k,i,j}=\max\left\{\begin{array}\\f_{k,i-1,j-1}+1（从S的这个子串第i-1位转移过来）\\f_{k-1,i`（1<=i`<=i-1）,j`（1<=j`<=j-1）}+1（从S的上一个子串第i`位转移） \end{array}\right. \]

但是，这时间复杂度是\(O(n^{2}m^{2}k)\)的。
所以，设\(mx_{k,i,j}\)表示\(\max(f_{k,i`（1<=i`<=i）,j`（1<=j`<=j）})\)
那么转移改为$$f_{k,i,j}=\max\left{\begin{array}\f_{k,i-1,j-1}+1\mx_{k-1,i-1,j-1}+1\end{array}\right.$$
这样，我们只要不断更新\(mx\)就可以了。

\[mx_{k,i,j}=\max\left\{\begin{array}\\mx_{k,i-1,j}\\mx_{k,i,j-1}\\f_{k,i,j}\end{array}\right. \]

时间复杂度是\(O(nmk)\)

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const int maxlongint=2147483647;
const int mo=1000000007;
const int N=1005;
using namespace std;
int g[N][N],n,m,k,tot,ans,next[N],f[12][N][N],mx[12][N][N];
char s[N],t[N];
int main()
{
	freopen("string.in","r",stdin);
	freopen("string.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d\n",&n,&m,&k);
	scanf("%s\n",s+1);
	scanf("%s\n",t+1);
	for(int l=1;l<=k;l++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				if(s[i]==t[j])
				{
					f[l][i][j]=max(f[l][i-1][j-1],mx[l-1][i-1][j-1])+1;
				}
				mx[l][i][j]=max(mx[l][i][j-1],max(mx[l][i-1][j],f[l][i][j]));
				ans=max(ans,f[l][i][j]);
			}
	printf("%d",ans);
}