欧拉函数的一个性质及其证明

性质#

欧拉函数φ(n)指小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目，假设$$n=p_{1}^{{e_{1}}*p_{2}}{e_{2}}···p_{k}^{e_{k}}（p_{i}是质数(1<=i<=k)）$$ 那么$$φ(n)=(p_{1}-1)p_{1}^{{e_{1}-1}*(p_{2}-1)p_{2}}-1}··(p_{k}-1)p_{k}^{e_{k}-1}·$$其中

\[\sum_{d|n}φ(d)=n \]

证明#

令函数$$f(n)=\sum_{d|n}φ(d)$$因此$$f(p_{i}^{{e_{i}})=φ(1)+φ(p_{i})+φ(p_{i}})+···+φ(p_{i}^{{e_{i}})=1+p_{i}-1+p_{i}}-p_{i}+···+p_{i}^{{e_{i}}-p_{i}}-1}=p_{i}^{e_{i}}（p_{i}是质数(1<=i<=k)）$$因为φ(n)是积性函数，所以f(n)也是积性函数（这里没证明）。
假设$$n=p_{1}^{{e_{1}}*p_{2}}{e_{2}}···p_{k}^{{e_{k}}$$所以$$\sum_{d|n}φ(d)=f(n)=f(p_{1}}{e_{1}}p_{2}^{{e_{2}}*···*p_{k}}{e_{k}})=f(p_{1}^{{e_{1}})*f(p_{2}}{e_{2}})···f(p_{k}^{{e_{k}})=p_{1}}{e_{1}}p_{2}^{{e_{2}}*···*p_{k}}{e_{k}}=n$$