【求和】题解

题目#

题目描述##

若两个数的最大公约数为1，则这两个数互质。现在给出一个正整数N（1<=2^31-1)，你的任务是求出1~N中与N互质的数的总和。

输入##

一个整数N

输出##

一个整数sum，表示1~N中与N互质的数的总和。

样例输入##

10

样例输出##

20

---

分析#

解法一##

套公式：ans=N*phi(N)/2

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
long long zs[1000],m,ans,m2[20];
long long s;
int main()
{
	long long k,p,l,n,tot;
	scanf("%lld",&n);
	int i,j;
	ans=(1+n)*n/2;
	tot=0;
	int nn=n;
	for(i=2;i<=int(sqrt(n))+1;i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			zs[++tot]=i;
			while(n%i==0)
			{
				n/=i;
			}
		}
	}
	//以上是求质因数
	if(n>1)
	{
		zs[++tot]=n;
	}
	s=nn;
	for(i=1;i<=tot;i++)
	{
		s=(zs[i]-1)*s/zs[i];
	}
	s=s*nn/2;
	printf("%lld",s);
}

解法二##

假设S为1~N的总和，P为与N互质的数的总和（即答案），Q为不与N互质的数的总和，则P=S-Q；
显然S=(1+N)*N/2，我们就可以通过求出Q来的得出P。
首先求出N所有的质因数，再根据容斥原理就可以很轻松的求出Q。
再因为：

2*3*5*7*11*13*17*19*23=223092870<maxN
2*3*5*7*11*13*17*19*23*29=6469693230>maxN

所以N质因数的个数不会超过9个，即容斥原理不会超时。