NSSCTF--Crypto--[FSCTF 2023]ezmath

[FSCTF 2023]ezmath

task:

import libnum
from Crypto.Util.number import *
from secret import flag
m = libnum.s2n(flag)
e = 65537
p = getPrime(1024)
q = getPrime(1024)
n = p * q
c = pow(m, e, n)
hint = pow(2022 * p + 2023, q, n)
print(f'n={n}')
print(f'c={c}')
print(f'hint={hint}')
'''
n=16099847254382387482323197733210572595987701766995679577427964142162383113660616883997429365200200943640950821711084123429306946305893862414506257284441114840863787499898478803568113348661314216300658606282276936902117099898776435948501831796770856505782683585268617613575681655903107683069260253287994894440427511440504754827820494060133773435262418256886443037510658584541624614692050308222516337333585823733360631982795323752298740497235142977602602205292595197618229629610834651923388269194546316023246525302500676142502931303976146680655368617094100097945625676103639154884247373003120937959132698199043562660573
c=7980021929208497878634194663038470941705554065040985666635317762877799614984808729636911256912639929083920319066806111423231500122646366713245534616522235309310234767331344216892929739448126523171652425415458999098138841038319673380331281114806318366697490343176758140150118761408250366783210772381316729932361601257318131085116265135718477224618689710966570938280408341402386000281564650565256635313406111364916715660419153433573586809503564050585204002594864254089288672391014804368427324162776953191520483774116807593366091685560902424782104761523067998300887293902330501335485075609216897135678017158187880996872
hint=14005608544369156893681352040163362072608754453657200460825561123439158535855236943525558717120672888372079069187756549797113560863313618058077150885401191613229507892570378437310964624470055767463556516869604496669085622244233154871165554916349033197798790982409986216498996673603605465039336316170130644317728786516639634775709400754328137266154981484016505702738584209800158047120647468364899692021253904198509376650238372552486792709682170146695759196408908825447960637667502907929061819408441663880712891979320089482801220225451560809151067631824526463122992973388740015878474372614751149918455457191739542980396
'''

analysis:

\[\begin{flalign} &已知hint≡(2022p+2023)^q(modn)\Longrightarrow hint≡2023^q+(2022p)^q+2023(2022p)^{q-1}+\cdots(modn)\\ &hint≡Kp+2023^q(modn)(K为p的系数)\Longrightarrow hint≡2023^q(modp)\Longrightarrow hint-2023^q=kp.\\ &p = GCD(hint-2023^q,n).接下来就是如何找到2023^q(modp),由费马小定理只2023^{p-1}≡1(modp).\\ &2023^q≡2023^{p+q-1}(modp)\Longrightarrow 2023^q≡2023^n(modp)≡2023^n(modn),因2023^{\varphi(n)}=2023^{n-(p+q-1)}≡1(modn)\\ &\Longrightarrow 2023^n≡2023^{p+q-1}(modn).\\ &p=GCD(n,2023^n\%n).& \end{flalign} \]

exp:

# -*- coding: utf-8 -*-
# @Author  : chen_xing
# @Time    : 2024/12/24 上午12:03
# @File    : ezmath.py
# @Software: PyCharm
from Crypto.Util.number import *
n = 16099847254382387482323197733210572595987701766995679577427964142162383113660616883997429365200200943640950821711084123429306946305893862414506257284441114840863787499898478803568113348661314216300658606282276936902117099898776435948501831796770856505782683585268617613575681655903107683069260253287994894440427511440504754827820494060133773435262418256886443037510658584541624614692050308222516337333585823733360631982795323752298740497235142977602602205292595197618229629610834651923388269194546316023246525302500676142502931303976146680655368617094100097945625676103639154884247373003120937959132698199043562660573
c = 7980021929208497878634194663038470941705554065040985666635317762877799614984808729636911256912639929083920319066806111423231500122646366713245534616522235309310234767331344216892929739448126523171652425415458999098138841038319673380331281114806318366697490343176758140150118761408250366783210772381316729932361601257318131085116265135718477224618689710966570938280408341402386000281564650565256635313406111364916715660419153433573586809503564050585204002594864254089288672391014804368427324162776953191520483774116807593366091685560902424782104761523067998300887293902330501335485075609216897135678017158187880996872
hint = 14005608544369156893681352040163362072608754453657200460825561123439158535855236943525558717120672888372079069187756549797113560863313618058077150885401191613229507892570378437310964624470055767463556516869604496669085622244233154871165554916349033197798790982409986216498996673603605465039336316170130644317728786516639634775709400754328137266154981484016505702738584209800158047120647468364899692021253904198509376650238372552486792709682170146695759196408908825447960637667502907929061819408441663880712891979320089482801220225451560809151067631824526463122992973388740015878474372614751149918455457191739542980396
e = 65537
p = GCD(n,hint - pow(2023,n,n))
print(long_to_bytes(pow(c,inverse(e,(p-1)*(n//p-1)),n)))
# b'flag{ju3t_a_s1mpl3_ta3k} '

类似的题目还有一道2024源鲁杯Round1ezrsa.