SICTF 2024 Round4 Crypto

SICTF-Round4--Crypto

SignBase

task:

U0lDVEZ7ODI5MGYwZWYtNzAyYi00NTZmLTlmZjYtNGRhZjhhYTIzNWU1fQ==

exp:

https://www.ddosi.org/code/

SICTF{8290f0ef-702b-456f-9ff6-4daf8aa235e5}

Smooth

task:

from random import choice
from Crypto.Util.number import isPrime, sieve_base
from select import flag

def getT1ngPrime(bits):
    while True:
        n = 2
        while n.bit_length() < bits:
            n *= choice(sieve_base)
        if isPrime(n + 1):
            return n + 1

e = 0x10001
p = getT1ngPrime(2048)
q = getT1ngPrime(2048)
n = p * q
c = pow(flag, e, n)
print("n =",n)
print("c =",c)

# n = 11353462911659482113796537452147300926058319193410149519981293344545095869273822230953023429933867057788424748612924709948861133348747189832397098293375764081790597820832766019459982124608221261607650511397189714784056313299551817534654742174637343804047231232241364089289257964139944018168155573510980260130960125621306919129390727418251555408239157881843225479158237727969284756513805560836003067115936987292751142016846824024901372913577548599978847860303760659677939193351221798796221804998385095596961591093782162020167439948314063423204757741472210008357888290333170757522814768955797167174930629344666183821709125207308525214263797625499327774875517941662523738827284067304929843343871569023248931759251331056863803201916908875256305736551124386988450879913404808869417817363510363373493093139804372817316366990863872781848240937733101758906281563575413208242901819275013539759479445299894840593737457394207415306989963459347994339058584475533786264375696277942369426844216474662828121334192775480587740071776080691560820922589751966526187341539255661442517814436944781114380877453502120302247547983180059537220197840688418898830571100216529994749464486853212098379822895838120836692532849021875818941979891105837972315129986493
# c = 4598142980961588614870523368474306387497434303187254927457676265871592231881441246092917258758503624096206624791819316260705668875764048374035213672138915662719877795747211803584360349151646264274341548770123417923229997374982757324397146348908248704115062655445309042278469908831635522908894918382861563762003781223067210316435231509359575745828484177064520417698784251000631935361105284031848497200100561554984257265297077176545082009710252149167922123535451717313588884862304552508619154651546264753192894485610685402565486840707709012364088270364787452130288293053818329408433642977483320525542674345001200312959241276966417288770125166249156122793451000156544563900072606708005901579238109781720805374132101363788622676000360345128868422751829657184702090198806325558601552728909032627597688702884484377994243047876011323705947461799669488497113582621976154428096812072612119422667669321557427061098391558516935530727451865151957035156100271891977310043273298085691419672779758845492888551759393825925266903887942750052210444677062600227218953570162640164207895883301679126000642791876167281967081725589618329012476305157314322062703122134504285038691938912783524944917966615556902938825590064899700174139252191278691620663355243

analysis:
[RSA--p-1光滑](CTF--RSA--p-1光滑 - chen_xing - 博客园)
[^光滑数（Smooth number）]: 可以分解成多个小素数乘积的正整数。

\[\begin{flalign} &费马小定理\quad\quad(a,p)=1⇒a^{p-1}≡1(mod\quad p)\\ &设p-1是B-Smooth的，可设p-1=p_1p_2\cdots p_n(\forall1≤i≤n)\\ &若p_1p_2\cdots p_n两两不同，则p_1p_2\cdots p_n|B!⇒B!=k(p-1)。因此a^{B!}≡a^{k(p-1)}≡1(mod\quad p)\\ &假设N=pq，计算gcd(a^{B!}-1,N)=p即可。& \end{flalign} \]

exp:

import gmpy2
import libnum
from Crypto.Util.number import isPrime, sieve_base as primes

c = 4598142980961588614870523368474306387497434303187254927457676265871592231881441246092917258758503624096206624791819316260705668875764048374035213672138915662719877795747211803584360349151646264274341548770123417923229997374982757324397146348908248704115062655445309042278469908831635522908894918382861563762003781223067210316435231509359575745828484177064520417698784251000631935361105284031848497200100561554984257265297077176545082009710252149167922123535451717313588884862304552508619154651546264753192894485610685402565486840707709012364088270364787452130288293053818329408433642977483320525542674345001200312959241276966417288770125166249156122793451000156544563900072606708005901579238109781720805374132101363788622676000360345128868422751829657184702090198806325558601552728909032627597688702884484377994243047876011323705947461799669488497113582621976154428096812072612119422667669321557427061098391558516935530727451865151957035156100271891977310043273298085691419672779758845492888551759393825925266903887942750052210444677062600227218953570162640164207895883301679126000642791876167281967081725589618329012476305157314322062703122134504285038691938912783524944917966615556902938825590064899700174139252191278691620663355243
n = 11353462911659482113796537452147300926058319193410149519981293344545095869273822230953023429933867057788424748612924709948861133348747189832397098293375764081790597820832766019459982124608221261607650511397189714784056313299551817534654742174637343804047231232241364089289257964139944018168155573510980260130960125621306919129390727418251555408239157881843225479158237727969284756513805560836003067115936987292751142016846824024901372913577548599978847860303760659677939193351221798796221804998385095596961591093782162020167439948314063423204757741472210008357888290333170757522814768955797167174930629344666183821709125207308525214263797625499327774875517941662523738827284067304929843343871569023248931759251331056863803201916908875256305736551124386988450879913404808869417817363510363373493093139804372817316366990863872781848240937733101758906281563575413208242901819275013539759479445299894840593737457394207415306989963459347994339058584475533786264375696277942369426844216474662828121334192775480587740071776080691560820922589751966526187341539255661442517814436944781114380877453502120302247547983180059537220197840688418898830571100216529994749464486853212098379822895838120836692532849021875818941979891105837972315129986493
e = 0x10001
x = 1
for i in primes:
    x = i * x

p = gmpy2.gcd(pow(2, x, n) - 1, n)
q = n // p
phi = (p - 1) * (q - 1)
d = gmpy2.invert(e, phi)
m = pow(c, d, n)
flag = libnum.n2s(int(m))
print(flag)
# SICTF{d8af7f58-49f7-490d-be49-386b8ff16361}

next_prime

task:

from Crypto.Util.number import getPrime
from gmpy2 import next_prime
from select import flag

p = getPrime(1024)
q = getPrime(1024)
e = 65537
n = p * q
c = pow(flag, e, n)
gift = n * next_prime(p) * next_prime(q)
print("n =", n)
print("c =", c)
print("gift =", gift)

# n = 11958388191411693159737723233868177200642855312771636589272066925180521736238782088222469544720240237292008558651656242716943228927612911153093905350043065811853776453271082678856297734699816670221066298151571078839575715976634390967727901295936522621706645886864683564184184197808626753747618171580292981571324190267014128877345111473870762554461674841623076501341477084318792110624423283610948627697772395662746329206056210266975821093875870239401934123066690637191790327090291595067248967533200784706397544202070440488806825607916659163953805033205530899551496221506129549542556866837853127119809134360611350153589
# c = 10602368727908312334676265892975307612231309319511015017178654564186172749979627738052483995870388025140270600159107954524376993980949045647370337520644299969292550299798129717198074042121264370311983929042594290226321121639097714569204574387632530578153623781118813035223106106430716561113649761388347227207862016222328885951443891878767280730866193302995220736592745950808566359750940949520997722511969961743175777398751576595421456387998438214806188903746057855596476380404784738717555105866919649086601807350830108805521710188675565963765427930594177874353694184805979235854934856122125278853834603734029710968348
# gift = 143003048136494625720615623612005913472507924053937690079082986485649969355472743235179770036996193641198750946508667945561623931811236977039763581123681134310890547763107653222776992418543178066390387385209825190685606728024120446212807710589806258669458993047631033905702244902809204039169931629358263456702579067559691338668237882496453568585374905432631312417129535623987837367199215661733043851565981435234933986864857569158677737153423060041120732727135186371678287680926662892691327401787213342106281956461499522723795617869239148528294553548775690229067500104867437905746412645684721821428282431567702986879179533855920546700706123995719114359958306882907020982377260255340490340263938995699635287224549324332962230238510191824829224191551900441011605052418697617085549543103391184965537110312684637038510114533398510307173011690076219892318860903556489256383303693074652155424333388152193775840529985682153395008472897617946636734810609200156268438329402662168752285341847607694230848883249991722691539384542468611397615969487669898094687344847452861774236267516878551680397732564006255256825307533960791695267034807439791627895625581061889926276814228469856614838307012696777026973517086921078389474757196549594972814371353

analysis:

一般来说对于N=p * q，p与q接近时可以直接通过yafu分解得到相应的p,q但是这题加入了p,p1=nextprime(p),q,q1=nextprime(q)进行混淆，但是由于p与nextprime(p)接近的缘故，我们依旧采用从平方根去中分解gift的想法，但是由于分解后的大素数我们不知道那个是n的素因数，因此需要组合校验。

平方根取中法：

exp:

from Crypto.Util.number import *
from gmpy2 import *

gift = 143003048136494625720615623612005913472507924053937690079082986485649969355472743235179770036996193641198750946508667945561623931811236977039763581123681134310890547763107653222776992418543178066390387385209825190685606728024120446212807710589806258669458993047631033905702244902809204039169931629358263456702579067559691338668237882496453568585374905432631312417129535623987837367199215661733043851565981435234933986864857569158677737153423060041120732727135186371678287680926662892691327401787213342106281956461499522723795617869239148528294553548775690229067500104867437905746412645684721821428282431567702986879179533855920546700706123995719114359958306882907020982377260255340490340263938995699635287224549324332962230238510191824829224191551900441011605052418697617085549543103391184965537110312684637038510114533398510307173011690076219892318860903556489256383303693074652155424333388152193775840529985682153395008472897617946636734810609200156268438329402662168752285341847607694230848883249991722691539384542468611397615969487669898094687344847452861774236267516878551680397732564006255256825307533960791695267034807439791627895625581061889926276814228469856614838307012696777026973517086921078389474757196549594972814371353
c = 10602368727908312334676265892975307612231309319511015017178654564186172749979627738052483995870388025140270600159107954524376993980949045647370337520644299969292550299798129717198074042121264370311983929042594290226321121639097714569204574387632530578153623781118813035223106106430716561113649761388347227207862016222328885951443891878767280730866193302995220736592745950808566359750940949520997722511969961743175777398751576595421456387998438214806188903746057855596476380404784738717555105866919649086601807350830108805521710188675565963765427930594177874353694184805979235854934856122125278853834603734029710968348
e = 0x10001
n = 11958388191411693159737723233868177200642855312771636589272066925180521736238782088222469544720240237292008558651656242716943228927612911153093905350043065811853776453271082678856297734699816670221066298151571078839575715976634390967727901295936522621706645886864683564184184197808626753747618171580292981571324190267014128877345111473870762554461674841623076501341477084318792110624423283610948627697772395662746329206056210266975821093875870239401934123066690637191790327090291595067248967533200784706397544202070440488806825607916659163953805033205530899551496221506129549542556866837853127119809134360611350153589

def factor(gift):
    factor_list = []
    get_context().precision = 2048
    sqrt_n = int(sqrt(gift))
    c = sqrt_n
    while True:
        c += 1
        d_square = c ** 2 - gift
        if is_square(d_square):
            d_square = mpz(d_square)
            get_context().precision = 2048
            d = int(sqrt(d_square))
            factor_list.append([c + d, c - d])
        if len(factor_list) == 2:
            break
    return factor_list

factor_list = factor(gift)
[X1, Y1] = factor_list[0]
[X2, Y2] = factor_list[1]
assert X1 * Y1 == gift
assert X2 * Y2 == gift
p1 = gcd(X1, X2)
q1 = X1 // p1
p2 = gcd(Y1, Y2)
q2 = Y1 // p2
"""
print("p1*q1 is {0}".format((p1*q1==n)))
print("p2*q2 is {0}".format((p2*q2==n)))
print("p1*q2 is {0}".format(p1*q2==n))
print("p2*q1 is {0}".format(p2*q1==n))
p1*q1 is False
p2*q2 is False
p1*q2 is False
p2*q1 is True
"""
phi =(q1 - 1) * (p2 - 1)
d = invert(e, phi)
print(long_to_bytes(pow(c, d, n)))
# SICTF{f2a3af27-ad07-4fc2-9b69-a91304eee6a3}

Math Cocktail

task:

from secret import key
x = key
M = 94665789456132156456789461321289656332321
n = 123456789123456789
k = x + pow(x,-1,M)
result = pow(x,n,M) + pow(x,-n,M)
print("k = " + str(k))
flag = "SICTF{"+str(result)+"}"
#k = 15396893775857205606087136852231851457937

analysis:

\[\begin{flalign} &已知k=x+{1\over x}(mod\quad M)，求解x^n(mod\quad M)+{1\over x^{n}}(mod\quad M)\\ &由k=x+{1\over x}(mod\quad M)⇒kx=x^2+1\\ &解方程解出x进行带入求解result即可。& \end{flalign} \]

exp:

# sage
M = 94665789456132156456789461321289656332321
n = 123456789123456789
k = 15396893775857205606087136852231851457937
# 定义多项式环，在mod M环内求解x
P.<x> = PolynomialRing(Zmod(M))
f = x**2 + 1 - k*x 
# 求解方程式中的x，并且保证求解的x是正整数
x = int(f.monic().roots(multiplicities=False)[0])
result = pow(x,n,M) + pow(x,-n,M)
print(f"SICTF{{{result}}}")
# SICTF{83812289150322223053501552731270409032921}