Codeforces Round 951 (D2) 分析和证明 更新到E

萌新的第二篇cf证明

A - Guess the Maximum

//这个问题比较套路

让我们看看Alice是怎么想的

Alice:“如果Bob选了[i,j],我只要保证[i,i+1]能赢就行。多出的数只会让max更大。”
所以枚举[i,i+1]即可。
//使用了调整法

B. XOR Sequences

每lowbit个数分成一段。原来相邻的段因为异或了lowbit，会交换位置。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-> xor 12
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
比如12 - 15这段，8 - 11这段就被交换了位置
那么只能选每一段

C. Earning on Bets

//这怎么是数学题
设投注 x0, x1, ...

那么我们需要
for each i , xi * ki > sum of x
所以 xi > sum / ki
累加得 sum > sum * Σ(1 / ki)
即 Σ(1 / ki) <= 1
这是合法的必要条件

此时我们取xi = 1 / ki即可
注意我们将xi乘上lcm(1,2,...,20)，使xi是整数

D. Fixing a Binary String

大水题。
不妨设a[0] = 0（对于1的情况，取反处理即可）

第i个数应当是 i / k % 2
分别判断
s[p+1]s[p+2]..s[n] s[p]s[p−1]..s[1]这两部分是否合法即可

前面一部分合法，当：
数量<=k时，当全是0合法
否则，当前2k个数是00000...00011111.....111 且s[p+1+2k]...s[n]合法时合法

后面一部分合法，当：
s[p] = (n-1 - p) / k % 2 且 s[p−1]..s[1]合法
模拟即可
//upd 也可以哈希

E - Manhattan Triangle

什么样的三个点能组成Manhattan Triangle？
尝试如下情况

  .

 .

     .

我们来画一些线

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  .
 . . .
     .
     . . . . . .

那么由于上面的点到右下的距离，左边的点到右下的距离相等，所以红线和蓝线长度相等。

正式的说，
如果三点两两不共线（共线指x坐标或y坐标相同），那么
找到x坐标处于中间的（例子中是红点），
找到y坐标处于中间的（例子中是蓝点），
这两个点一定不同（否则处于边缘的两点距离一定大于中间这个点

 .
 .
 . . . 
     .
     . . . . . . .

就像这样）
那么这两个点组成的线是45°或135°的。（可以枚举所有情况证明）
如果有两点共线，那么会组成一个等腰直角三角形
也有一条边是45°或135°的。

以此模拟即可。